正方形ABCDの辺CD上に点Eをとり、辺BCの延長上にCF=CEとなる点Fをとる。また、BEの延長とDFとの交点をGとする。このとき、$\angle DEG = \angle DFC$ であることを証明する。

1. 問題の内容

正方形ABCDの辺CD上に点Eをとり、辺BCの延長上にCF=CEとなる点Fをとる。また、BEの延長とDFとの交点をGとする。このとき、$\angle DEG = \angle DFC$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle BCE$と$\triangle DCE$において、

* $BC = DC$ （正方形の辺）

* $\angle BCE = \angle DCF = 90^\circ$ （正方形の角）

* $CE = CF$ （仮定）

したがって、$\triangle BCE \equiv \triangle DCF$（二辺夾角相等）。

これにより、$\angle CBE = \angle CDF$。

次に、$\angle DEG$について考える。$\angle DEG$は$\triangle CGE$の外角なので、

$\angle DEG = \angle GCE + \angle CEG$

また、$\angle DFC$について考える。$\triangle DCF$において、

$\angle DFC = 180^\circ - \angle DCF - \angle CDF = 180^\circ - 90^\circ - \angle CDF = 90^\circ - \angle CDF$

一方、$\angle CEB = 180^\circ - \angle CEG$なので、$\angle CEG = 180^\circ - \angle CEB$

$\angle GCE = 90^\circ$なので、

$\angle DEG = 90^\circ + (180^\circ - \angle CEB) = 270^\circ - \angle CEB$

さらに、$\angle CEB = 90^\circ - \angle CBE$なので、

$\angle DEG = 270^\circ - (90^\circ - \angle CBE) = 180^\circ + \angle CBE$

$\angle DEG$について、$\angle DEG + \angle BEG = 180^\circ$（一直線）

$\angle BEG + \angle CBE + 90^\circ = 180^\circ$（三角形の内角の和）

したがって、$\angle DEG = 180^\circ - (90^\circ - \angle CBE) = 90^\circ + \angle CBE = 90^\circ + \angle CDF = \angle DFC$

結論として、$\angle DEG = \angle DFC$となる。

3. 最終的な答え

$\angle DEG = \angle DFC$