$\theta$は鋭角であり、$\sin \theta = \frac{2}{3}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角であり、$\sin \theta = \frac{2}{3}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式である$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$を利用します。

$\sin \theta = \frac{2}{3}$を代入すると、

$(\frac{2}{3})^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\frac{4}{9} + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta > 0$であるから、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

次に、$\tan \theta$を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$であるから、

$\tan \theta = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

分母を有理化すると、

$\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$