与えられた積分 $\int x^3 \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^3 \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分法を用いて積分を計算します。部分積分法の公式は、$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

ここでは、$u = \log x$、$dv = x^3 dx$ と置きます。

すると、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = \int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$ となります。

したがって、

$\int x^3 \log x \, dx = (\log x) \cdot \frac{x^4}{4} - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^4}{4} \log x - \int \frac{x^3}{4} \, dx$

となります。

次に、$\int \frac{x^3}{4} \, dx$ を計算します。

$\int \frac{x^3}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int x^3 \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{16}$

したがって、

$\int x^3 \log x \, dx = \frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} + C$

となります。ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{x^4}{4} \log x - \frac{x^4}{16} + C$