定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x^2} dx$ の値を求め、$A + \frac{B}{e}$ の形式で表したときの $A$ と $B$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x^2} dx$ の値を求め、$A + \frac{B}{e}$ の形式で表したときの $A$ と $B$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この定積分を解くために、部分積分を利用します。

$u = \log x$ と $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とおきます。

すると、$du = \frac{1}{x} dx$ であり、$v = \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x^2} dx = \left[ -\frac{\log x}{x} \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \left[ -\frac{\log x}{x} \right]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} dx$

$= \left[ -\frac{\log x}{x} \right]_{1}^{e} + \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{e}$

ここで、$\log e = 1$ および $\log 1 = 0$ であることを用いると、

$= \left( -\frac{\log e}{e} - \left( -\frac{\log 1}{1} \right) \right) + \left( -\frac{1}{e} - \left( -\frac{1}{1} \right) \right)$

$= \left( -\frac{1}{e} - 0 \right) + \left( -\frac{1}{e} + 1 \right)$

$= -\frac{1}{e} -\frac{1}{e} + 1$

$= 1 - \frac{2}{e}$

したがって、$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x^2} dx = 1 - \frac{2}{e} = 1 + \frac{-2}{e}$ となり、$A=1$, $B=-2$ です。

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = -2