$\theta$ が鋭角であり、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ が鋭角であり、$\cos \theta = \frac{2}{3}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\sin \theta$ の値を求めます。$\theta$ は鋭角なので、$\sin \theta > 0$ であることに注意します。

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を利用して $\tan \theta$ の値を計算します。

ステップ1: $\sin \theta$ の計算

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\cos \theta = \frac{2}{3}$ を代入して

$\sin^2 \theta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\theta$ は鋭角なので、$\sin \theta > 0$。したがって、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

ステップ2: $\tan \theta$ の計算

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$