関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表す。 (2) $x \le -1$ の範囲を動くとき、$f(x)$ のとり得る値の範囲を求める。 (3) $a$ を定数とする。$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が 13 以下であるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4^x - 3 \cdot 2^{x-2}$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $2^x = t$ とおくとき、$f(x)$ を $t$ を用いて表す。

(2) $x \le -1$ の範囲を動くとき、$f(x)$ のとり得る値の範囲を求める。

(3) $a$ を定数とする。$a \le x \le a+1$ において $f(x)$ は $x = a+1$ で最大となり、さらに最大値が 13 以下であるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $2^x = t$ とおくと、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ であり、$2^{x-2} = 2^x \cdot 2^{-2} = \frac{1}{4}2^x = \frac{1}{4}t$ である。したがって、

$f(x) = t^2 - 3 \cdot \frac{1}{4}t = t^2 - \frac{3}{4}t$

(2) $x \le -1$ より、$2^x \le 2^{-1} = \frac{1}{2}$ である。よって、$0 < t \le \frac{1}{2}$ である。

$f(x) = t^2 - \frac{3}{4}t = (t - \frac{3}{8})^2 - \frac{9}{64}$

軸 $t = \frac{3}{8}$ は $0 < t \le \frac{1}{2}$ の範囲にある。

$t = \frac{3}{8}$ で最小値 $-\frac{9}{64}$ をとる。

$t = \frac{1}{2}$ のとき $f(x) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4}(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}$

よって、 $-\frac{9}{64} \le f(x) \le -\frac{1}{8}$ となる。

ただし、$t>0$ である必要がある。$t\rightarrow 0$としたとき、$f(x)\rightarrow 0$となるので、$f(x)$のとりうる値の範囲は$-\frac{9}{64}\leq f(x) < 0$となる。

また、 $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8} - \frac{3}{8} = -\frac{1}{8}$ である。

$t$ の範囲が $0 < t \le \frac{1}{2}$ なので、$f(x)$ の範囲は $-\frac{9}{64} \le f(x) \le -\frac{1}{8}$ となる。

(3) $f(x)$ は $x=a+1$ で最大となるので、軸の位置関係から $a \le \frac{3}{8}$

$f(x) = t^2 - \frac{3}{4} t$ において、$t = 2^x$ なので、$x = a+1$ において $t = 2^{a+1}$ である。

したがって、$f(a+1) = (2^{a+1})^2 - \frac{3}{4} 2^{a+1} = 4^{a+1} - \frac{3}{4} 2^{a+1} \le 13$

$2^{a+1} = X$ とおくと、$X^2 - \frac{3}{4} X \le 13$

$4X^2 - 3X \le 52$

$4X^2 - 3X - 52 \le 0$

$(4X + 13)(X-4) \le 0$

$-\frac{13}{4} \le X \le 4$

$2^{a+1} \le 4$

$2^{a+1} \le 2^2$

$a+1 \le 2$

$a \le 1$

したがって、$a \le 1$ かつ、$a \le \frac{3}{8}$なので、$a \le 1$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = t^2 - \frac{3}{4}t$

(2) $-\frac{9}{64} \le f(x) \le -\frac{1}{8}$

(3) $a \le 1$