次の方程式を解きます。 (1) $2x^2 - 3x - 1 = 0$ (2) $3x^2 - 4x + 5 = 0$ (3) $(x - 1)^2 + (x + 2)^2 = 0$ (4) $3x^3 - x^2 - 5x - 1 = 0$ (5) $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 3} = 2$ (6) $\sqrt{7 - 2x} = x - 2$

はい、承知いたしました。与えられた方程式を解きます。

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $2x^2 - 3x - 1 = 0$

(2) $3x^2 - 4x + 5 = 0$

(3) $(x - 1)^2 + (x + 2)^2 = 0$

(4) $3x^3 - x^2 - 5x - 1 = 0$

(5) $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 3} = 2$

(6) $\sqrt{7 - 2x} = x - 2$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 3x - 1 = 0$

解の公式を用いて解きます。解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

$a = 2, b = -3, c = -1$ なので、

$x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $3x^2 - 4x + 5 = 0$

解の公式を用いて解きます。

$a = 3, b = -4, c = 5$ なので、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(5)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 60}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{-44}}{6} = \frac{4 \pm 2i\sqrt{11}}{6} = \frac{2 \pm i\sqrt{11}}{3}$

(3) $(x - 1)^2 + (x + 2)^2 = 0$

展開すると $x^2 - 2x + 1 + x^2 + 4x + 4 = 0$

整理すると $2x^2 + 2x + 5 = 0$

解の公式を用いて解きます。

$a = 2, b = 2, c = 5$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(2)(5)}}{2(2)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 40}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{4} = \frac{-2 \pm 6i}{4} = \frac{-1 \pm 3i}{2}$

(4) $3x^3 - x^2 - 5x - 1 = 0$

有理根定理より、$x = -1$ を代入すると、

$3(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 1 = -3 - 1 + 5 - 1 = 0$

したがって、$x = -1$ は解の一つです。

組み立て除法を行うと、

$(x + 1)(3x^2 - 4x - 1) = 0$

$3x^2 - 4x - 1 = 0$ を解の公式で解きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

よって、$x = -1, \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

(5) $\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 3} = 2$

$\frac{(x - 3) - (x - 1)}{(x - 1)(x - 3)} = 2$

$\frac{-2}{x^2 - 4x + 3} = 2$

$-2 = 2x^2 - 8x + 6$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

(6) $\sqrt{7 - 2x} = x - 2$

両辺を2乗すると、

$7 - 2x = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

$x = 3$ のとき、$\sqrt{7 - 2(3)} = \sqrt{1} = 1$, $x - 2 = 3 - 2 = 1$

$x = -1$ のとき、$\sqrt{7 - 2(-1)} = \sqrt{9} = 3$, $x - 2 = -1 - 2 = -3$

よって、$x = 3$ のみが解です。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

(2) $x = \frac{2 \pm i\sqrt{11}}{3}$

(3) $x = \frac{-1 \pm 3i}{2}$

(4) $x = -1, \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

(5) $x = 2$

(6) $x = 3$