$\theta$ は鋭角であり、$\tan \theta = 2$ であるとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角であり、$\tan \theta = 2$ であるとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = 2$ を満たすとき、

三角関数の相互関係

$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$

を用いて $\cos \theta$ を求める。

$1 + \tan^2 \theta = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

したがって、

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 5$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{5}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos \theta > 0$ であるから、

$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

次に、$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$ を用いて $\sin \theta$ を求める。

$\sin \theta = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$