定理2を $n=2$ の場合に証明せよ。定理2は以下の6つの命題が同値であることを述べています。 1. 列 $(a_1, ..., a_n)$ は $\mathbb{R}^n$ の基底である。

1. 問題の内容

定理2を $n=2$ の場合に証明せよ。定理2は以下の6つの命題が同値であることを述べています。

1. 列 $(a_1, ..., a_n)$ は $\mathbb{R}^n$ の基底である。

2. $a_1, ..., a_n$ は一次独立である。

3. $\text{span}\{a_1, ..., a_n\} = \mathbb{R}^n$ である。

4. $A = [a_1, ..., a_n]$ は正則行列である。

5. $\text{rank}[a_1, ..., a_n] = n$ である。

6. $\det[a_1, ..., a_n] \neq 0$ である。

2. 解き方の手順

$n=2$ の場合を考えます。$a_1, a_2$ を $\mathbb{R}^2$ のベクトルとします。定理2の6つの命題が同値であることを証明するには、例えば、1 $\Rightarrow$ 2 $\Rightarrow$ 3 $\Rightarrow$ 4 $\Rightarrow$ 5 $\Rightarrow$ 6 $\Rightarrow$ 1 を示すことで十分です。

1 $\Rightarrow$ 2: $\{a_1, a_2\}$ が $\mathbb{R}^2$ の基底ならば、$a_1, a_2$ は一次独立です。これは基底の定義そのものです。

2 $\Rightarrow$ 3: $a_1, a_2$ が一次独立であると仮定します。もし $\text{span}\{a_1, a_2\} \neq \mathbb{R}^2$ ならば、$\text{span}\{a_1, a_2\}$ は $\mathbb{R}^2$ の部分空間であり、次元は0または1です。次元が0ならば、$a_1 = a_2 = 0$ となり、一次独立性に矛盾します。次元が1ならば、$a_1$ と $a_2$ は平行であり、$a_2 = c a_1$ となるスカラー $c$ が存在し、$a_1, a_2$ が一次独立であるという仮定に矛盾します。したがって、$\text{span}\{a_1, a_2\} = \mathbb{R}^2$ でなければなりません。

3 $\Rightarrow$ 4: $\text{span}\{a_1, a_2\} = \mathbb{R}^2$ であると仮定します。このとき、任意のベクトル $v \in \mathbb{R}^2$ は $a_1$ と $a_2$ の線形結合で表せます。すなわち、$v = c_1 a_1 + c_2 a_2$ となるスカラー $c_1, c_2$ が存在します。特に、$e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ は $\mathbb{R}^2$ の基底であるから、$e_1 = c_{11} a_1 + c_{21} a_2$ および $e_2 = c_{12} a_1 + c_{22} a_2$ となるスカラー $c_{11}, c_{21}, c_{12}, c_{22}$ が存在します。

行列 $C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix}$ を考えると、$AC = [a_1, a_2] \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} = [c_{11}a_1 + c_{21} a_2, c_{12}a_1 + c_{22} a_2] = [e_1, e_2] = I$ となります。したがって、$A$ は正則行列であり、$C$ は $A$ の逆行列です。

4 $\Rightarrow$ 5: $A = [a_1, a_2]$ が正則行列であると仮定します。このとき、$A$ の列ベクトルは一次独立であるため、$\text{rank}(A) = 2$ です。

5 $\Rightarrow$ 6: $\text{rank}[a_1, a_2] = 2$ であると仮定します。これは $a_1$ と $a_2$ が一次独立であることを意味します。したがって、行列 $A = [a_1, a_2]$ の行列式はゼロではありません。$\det(A) \neq 0$.

6 $\Rightarrow$ 1: $\det[a_1, a_2] \neq 0$ であると仮定します。これは $a_1$ と $a_2$ が一次独立であることを意味します。$\mathbb{R}^2$ の一次独立な2つのベクトルは $\mathbb{R}^2$ の基底をなすため、$\{a_1, a_2\}$ は $\mathbb{R}^2$ の基底です。

3. 最終的な答え

定理2は $n=2$ の場合に証明されました。