与えられたベクトルの組が一次独立であるかどうかを判定する問題です。 (1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix}$ (4) $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -3 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組が一次独立であるかどうかを判定する問題です。

(1) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix}$

(4) $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -3 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

ベクトルの組が一次独立であるかどうかは、それらの線形結合がゼロベクトルになるのが、全ての係数がゼロの場合のみであるかどうかで判定します。

(1)

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この連立方程式は、

$c_1 + c_2 = 0$

$c_1 - c_2 = 0$

これを解くと、$c_1 = 0$、$c_2 = 0$ となります。したがって、一次独立です。

(2)

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この連立方程式は、

$c_1 - c_2 = 0$

$c_2 + c_3 = 0$

これを解くと、$c_1 = c_2 = -c_3$となります。

$c_1=1, c_2=1, c_3=-1$とすると、ゼロベクトルになります。したがって、一次独立ではありません。

(3)

$c_1 \begin{bmatrix} 4 \\ -3 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この連立方程式は、

$4c_1 = 0$

$-3c_1 + 5c_2 = 0$

これを解くと、$c_1 = 0$、$c_2 = 0$ となります。したがって、一次独立です。

(4)

$c_1 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

この連立方程式は、

$-c_1 - 3c_2 + c_3 = 0$

$2c_1 + 4c_2 - c_3 = 0$

第一式と第二式を足し合わせると、$c_1 + c_2 = 0$となります。

したがって、$c_1 = -c_2$

これを第一式に代入すると、

$c_2 - 3c_2 + c_3 = 0$

$-2c_2 + c_3 = 0$

$c_3 = 2c_2$

$c_2 = 1$ とすると、$c_1 = -1$, $c_3 = 2$となり、ゼロベクトルになります。したがって、一次独立ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 一次独立

(2) 一次独立ではない

(3) 一次独立

(4) 一次独立ではない