$x^2 - x - 90$ を因数分解します。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

**問題3(1)**

1. 問題の内容

$x^2 - x - 90$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は二次式なので、$(x + a)(x + b)$ の形に因数分解できると考えます。ここで、$a + b = -1$ かつ $ab = -90$ となる $a$ と $b$ を見つける必要があります。

-10と9が条件を満たします。

したがって、$x^2 - x - 90 = (x - 10)(x + 9)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x - 10)(x + 9)$

**問題3(2)**

1. 問題の内容

$a^2 - 17a + 60$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式も二次式なので、$(a + p)(a + q)$ の形に因数分解できると考えます。ここで、$p + q = -17$ かつ $pq = 60$ となる $p$ と $q$ を見つける必要があります。

-5と-12が条件を満たします。

したがって、$a^2 - 17a + 60 = (a - 5)(a - 12)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a - 5)(a - 12)$

**問題3(3)**

1. 問題の内容

$x^2 + 12xy + 20y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は二次式なので、$(x + ay)(x + by)$ の形に因数分解できると考えます。ここで、$a + b = 12$ かつ $ab = 20$ となる $a$ と $b$ を見つける必要があります。

2と10が条件を満たします。

したがって、$x^2 + 12xy + 20y^2 = (x + 2y)(x + 10y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 2y)(x + 10y)$

**問題3(4)**

1. 問題の内容

$a^2 + 5ab - 84b^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は二次式なので、$(a + pb)(a + qb)$ の形に因数分解できると考えます。ここで、$p + q = 5$ かつ $pq = -84$ となる $p$ と $q$ を見つける必要があります。

-7と12が条件を満たします。

したがって、$a^2 + 5ab - 84b^2 = (a - 7b)(a + 12b)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a - 7b)(a + 12b)$

**問題3(5)**

1. 問題の内容

$x^2 - 20xy + 100y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は二次式なので、$(x - ay)(x - by)$ の形に因数分解できると考えます。ここで、$a + b = 20$ かつ $ab = 100$ となる $a$ と $b$ を見つける必要があります。10と10が条件を満たします。

したがって、$x^2 - 20xy + 100y^2 = (x - 10y)(x - 10y) = (x - 10y)^2$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x - 10y)^2$

**問題3(6)**

1. 問題の内容

$4a^2 - 4a + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は$(2a)^2 - 2(2a)(1) + 1^2$の形なので、$(2a - 1)^2$と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2a - 1)^2$

**問題3(7)**

1. 問題の内容

$9x^2 + 12xy + 4y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は$(3x)^2 + 2(3x)(2y) + (2y)^2$の形なので、$(3x + 2y)^2$と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(3x + 2y)^2$

**問題3(8)**

1. 問題の内容

$9a^2 - 25$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は$(3a)^2 - 5^2$の形なので、$(3a - 5)(3a + 5)$と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(3a - 5)(3a + 5)$

**問題4(1)**

1. 問題の内容

$ax^2 - 3ax + 2a$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$a$ でくくり出すと、 $a(x^2 - 3x + 2)$となります。

$x^2 - 3x + 2$ を因数分解すると、 $(x - 1)(x - 2)$ となります。

したがって、$ax^2 - 3ax + 2a = a(x - 1)(x - 2)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$a(x - 1)(x - 2)$

**問題4(2)**

1. 問題の内容

$4a^2 - 16$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

4でくくり出すと、$4(a^2 - 4)$となります。

$a^2 - 4$は、$(a - 2)(a + 2)$と因数分解できます。

したがって、$4a^2 - 16 = 4(a - 2)(a + 2)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$4(a - 2)(a + 2)$

**問題4(3)**

1. 問題の内容

$3a^2x - 6ax + 3x$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$3x$ でくくり出すと、$3x(a^2 - 2a + 1)$となります。

$a^2 - 2a + 1$ は、 $(a - 1)^2$と因数分解できます。

したがって、$3a^2x - 6ax + 3x = 3x(a - 1)^2$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$3x(a - 1)^2$

**問題4(4)**

1. 問題の内容

$-y^2 - 5y + 36$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$-1$ でくくり出すと、$-(y^2 + 5y - 36)$となります。

$y^2 + 5y - 36$ は、 $(y + 9)(y - 4)$と因数分解できます。

したがって、$-y^2 - 5y + 36 = -(y + 9)(y - 4) = -(y - 4)(y + 9)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$-(y - 4)(y + 9)$

**問題4(5)**

1. 問題の内容

$4x^2 + 16xy + 16y^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

4 でくくり出すと、$4(x^2 + 4xy + 4y^2)$となります。

$x^2 + 4xy + 4y^2$ は $(x+2y)^2$と因数分解できます。

したがって、$4x^2 + 16xy + 16y^2 = 4(x + 2y)^2$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$4(x + 2y)^2$

**問題4(6)**

1. 問題の内容

$9x^3 - 81xy^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$9x$ でくくり出すと、$9x(x^2 - 9y^2)$となります。

$x^2 - 9y^2$は、$(x - 3y)(x + 3y)$と因数分解できます。

したがって、$9x^3 - 81xy^2 = 9x(x - 3y)(x + 3y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$9x(x - 3y)(x + 3y)$

**問題5(1)**

1. 問題の内容

$(a+b)^2 + (a+b)$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$(a+b)$でくくり出すと、$(a+b)((a+b)+1)$となります。

したがって、$(a+b)^2 + (a+b) = (a+b)(a+b+1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a+b)(a+b+1)$

**問題5(2)**

1. 問題の内容

$(x+y)^2 + 3(x+y) + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$A=x+y$とおくと、$A^2+3A+2$となります。

これは$(A+1)(A+2)$と因数分解できます。

$A$を元に戻すと、$(x+y+1)(x+y+2)$となります。

したがって、$(x+y)^2 + 3(x+y) + 2 = (x+y+1)(x+y+2)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x+y+1)(x+y+2)$

**問題5(3)**

1. 問題の内容

$(x-y)^2 - 8(x-y) + 16$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$A=x-y$とおくと、$A^2-8A+16$となります。

これは$(A-4)^2$と因数分解できます。

$A$を元に戻すと、$(x-y-4)^2$となります。

したがって、$(x-y)^2 - 8(x-y) + 16 = (x-y-4)^2$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x-y-4)^2$

**問題5(4)**

1. 問題の内容

$(a+b)^2 - c^2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

これは差の二乗の公式 $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$を利用できます。

$A = (a+b)$、$B = c$ とすると、

$(a+b)^2 - c^2 = (a+b - c)(a+b + c)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(a+b - c)(a+b + c)$

**問題6(1)**

1. 問題の内容

$155^2 - 145^2$ を工夫して計算します。

2. 解き方の手順

これは差の二乗の公式 $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$を利用できます。

$A = 155$、$B = 145$ とすると、

$155^2 - 145^2 = (155 - 145)(155 + 145) = 10 \times 300 = 3000$

3. 最終的な答え

3000

**問題6(2)**

1. 問題の内容

$x = 53$ のとき、$x^2 - 6x + 9$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$x^2 - 6x + 9$ は、 $(x - 3)^2$と因数分解できます。

$x = 53$ を代入すると、$(53 - 3)^2 = 50^2 = 2500$

3. 最終的な答え

2500