三角形ABCにおいて、以下の条件で指定された辺の長さを求めます。 (1) $b=6, B=30^\circ, C=45^\circ$ のとき、$c$ の値を求めます。 (2) $c=4, A=120^\circ, B=15^\circ$ のとき、$a$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の条件で指定された辺の長さを求めます。

(1) $b=6, B=30^\circ, C=45^\circ$ のとき、$c$ の値を求めます。

(2) $c=4, A=120^\circ, B=15^\circ$ のとき、$a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理を用いて、$c$ を求めます。

正弦定理は、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ です。

与えられた情報から、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ を用います。

$\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 45^\circ}$

$c = \frac{6 \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ なので、

$c = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{2}$

(2) 正弦定理を用いて、$a$ を求めます。

まず、角Cを求めます。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$A + B + C = 180^\circ$ です。

$120^\circ + 15^\circ + C = 180^\circ$

$C = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 120^\circ} = \frac{4}{\sin 45^\circ}$

$a = \frac{4 \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ}$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$a = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $c = 6\sqrt{2}$

(2) $a = 2\sqrt{6}$