与えられたベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の一次結合で表せない $\mathbb{R}^3$ のベクトルを一つ求める。

## 問題１

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の一次結合で表せない $\mathbb{R}^3$ のベクトルを一つ求める。

2. 解き方の手順

与えられたベクトルを $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ とおく。$\mathbf{v}_1$ と $\mathbf{v}_2$ の一次結合で表せるベクトルは、ある実数 $c_1, c_2$ に対して $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2$ の形で表せる。つまり、

$c_1\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -c_2 \\ 2c_1 + 2c_2 \\ c_1 + c_2 \end{bmatrix}$

となる。この一次結合で表せないベクトルを見つけるために、$\mathbb{R}^3$ の任意のベクトル $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ がこの形で表せるかどうかを考える。つまり、

$\begin{bmatrix} -c_2 \\ 2c_1 + 2c_2 \\ c_1 + c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

となる $c_1, c_2$ が存在するかどうかを調べる。この式は次の連立一次方程式に対応する。

$-c_2 = x$

$2c_1 + 2c_2 = y$

$c_1 + c_2 = z$

最初の式より $c_2 = -x$。これを二番目と三番目の式に代入すると、

$2c_1 - 2x = y$

$c_1 - x = z$

となる。よって、$c_1 = \frac{y}{2} + x$ および $c_1 = z + x$ となる。これらが一致するためには、

$\frac{y}{2} + x = z + x$

つまり

$\frac{y}{2} = z$

$y = 2z$

が成り立つ必要がある。したがって、$y = 2z$ を満たさないベクトルは、与えられたベクトル $\mathbf{v}_1$ と $\mathbf{v}_2$ の一次結合で表すことができない。例えば、$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ は $y = 1$ で $z = 1$ であり、$y \ne 2z$ なので、条件を満たす。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ （例）

## 問題２ (1)

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次独立ならば、組 $a_1, a_1+a_2$ も一次独立であることを示す。

2. 解き方の手順

$a_1$ と $a_2$ が一次独立であるとは、$c_1 a_1 + c_2 a_2 = 0$ ならば $c_1 = c_2 = 0$ であることを意味する。

$a_1$ と $a_1+a_2$ が一次独立であることを示すためには、$c_1' a_1 + c_2' (a_1+a_2) = 0$ ならば $c_1' = c_2' = 0$ であることを示す必要がある。

$c_1' a_1 + c_2' (a_1+a_2) = 0$ を整理すると、

$(c_1' + c_2') a_1 + c_2' a_2 = 0$ となる。

ここで、$c_1 = c_1' + c_2'$ 、$c_2 = c_2'$ とおくと、$c_1 a_1 + c_2 a_2 = 0$ となる。$a_1$ と $a_2$ が一次独立であることから、$c_1 = 0$ かつ $c_2 = 0$ である。つまり、$c_1' + c_2' = 0$ かつ $c_2' = 0$ である。

$c_2' = 0$ を $c_1' + c_2' = 0$ に代入すると、$c_1' = 0$ となる。

したがって、$c_1' a_1 + c_2' (a_1+a_2) = 0$ ならば $c_1' = c_2' = 0$ であるから、$a_1$ と $a_1+a_2$ は一次独立である。

3. 最終的な答え

証明終わり

## 問題２ (2)

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$ の数ベクトルの組 $a_1, a_2$ が一次従属ならば、$\mathbb{R}^3$ の任意の数ベクトル $a$ に対して組 $a_1, a_2, a$ は一次従属であることを示す。

2. 解き方の手順

$a_1$ と $a_2$ が一次従属であるとは、$c_1 a_1 + c_2 a_2 = 0$ を満たす $c_1, c_2$ が存在し、かつ $c_1 = c_2 = 0$ ではないことを意味する。

つまり、少なくとも片方は0でない。

$a_1, a_2, a$ が一次従属であることを示すためには、$d_1 a_1 + d_2 a_2 + d_3 a = 0$ を満たす $d_1, d_2, d_3$ が存在し、かつ $d_1 = d_2 = d_3 = 0$ ではないことを示す必要がある。

$a_1$ と $a_2$ が一次従属なので、$c_1 a_1 + c_2 a_2 = 0$ (ただし、$c_1, c_2$ の少なくとも一方は 0 でない)。これより $c_1 a_1 + c_2 a_2 + 0 a = 0$ となる。

ここで、$d_1 = c_1, d_2 = c_2, d_3 = 0$ とすると、$d_1 a_1 + d_2 a_2 + d_3 a = 0$ であり、$d_1, d_2$ の少なくとも一方は 0 でないので、$d_1 = d_2 = d_3 = 0$ ではない。

したがって、$a_1, a_2, a$ は一次従属である。

3. 最終的な答え

証明終わり