与えられた2つのベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ の一次結合で表すことのできない $\mathbb{R}^3$ のベクトルを1つ見つける問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つのベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ の一次結合で表すことのできない $\mathbb{R}^3$ のベクトルを1つ見つける問題です。

2. 解き方の手順

与えられたベクトルを $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ とします。これらのベクトルが張る部分空間は、$\mathbb{R}^3$ の部分空間です。この2つのベクトルは線形独立なので、この2つのベクトルが張る空間は平面になります。$\mathbf{v}_1$ と $\mathbf{v}_2$ の一次結合で表せないベクトルは、この平面上にないベクトルです。

$\mathbf{v}_1$ と $\mathbf{v}_2$ に直交するベクトルを $\mathbf{n} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ とすると、

$\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{n} = x + y = 0$

$\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{n} = -x + 2y - z = 0$

1つ目の式から $y = -x$ が得られます。これを2つ目の式に代入すると、

$-x + 2(-x) - z = 0$

$-3x - z = 0$

$z = -3x$

したがって、$\mathbf{n} = \begin{bmatrix} x \\ -x \\ -3x \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{bmatrix}$ となります。

$\mathbf{n} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -3 \end{bmatrix}$ は、$\mathbf{v}_1$ と $\mathbf{v}_2$ の張る平面の法線ベクトルです。

$\mathbb{R}^3$ の任意のベクトル $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$ が与えられたとき、このベクトルが $\mathbf{v}_1$ と $\mathbf{v}_2$ の一次結合で表せるためには、 $\mathbf{v}$ が $\mathbf{v}_1$ と $\mathbf{v}_2$ が張る平面上にある必要があります。これは $\mathbf{v}$ が $\mathbf{n}$ と直交する場合です。つまり、$\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0$ を満たす必要があります。

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = a - b - 3c = 0$ です。

したがって、この式を満たさないベクトルは、$\mathbf{v}_1$ と $\mathbf{v}_2$ の一次結合で表すことができません。例えば、$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ を考えます。

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 1 - 0 - 3(0) = 1 \neq 0$

したがって、$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ は $\mathbf{v}_1$ と $\mathbf{v}_2$ の一次結合で表すことができません。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$