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行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 4 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ -3 & 7 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、行列 $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める問題です。

代数学線形代数行列逆行列連立方程式
2025/7/18

1. 問題の内容

行列 A=(3−1121−24−10)A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 4 & -1 & 0 \end{pmatrix} と行列 B=(100−3793)B = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ -3 & 7 \\ 9 & 3 \end{pmatrix} が与えられたとき、行列 AX=BAX = B を満たす行列 XX を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 AA の逆行列 A−1A^{-1} を求めます。その後、行列 XX は X=A−1BX = A^{-1}B で計算できます。
(1) 行列 AA の逆行列 A−1A^{-1} を求めるために、行列 AA に単位行列を並べた拡大行列を作成し、行基本変形を用いて AA を単位行列に変形します。
(3−1110021−20104−10001)\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(2) 行基本変形を行います。
1行目を3で割る:
(1−1/31/31/30021−20104−10001)\begin{pmatrix} 1 & -1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2行目から1行目の2倍を引く、3行目から1行目の4倍を引く:
(1−1/31/31/30005/3−8/3−2/31001/3−4/3−4/301)\begin{pmatrix} 1 & -1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 5/3 & -8/3 & -2/3 & 1 & 0 \\ 0 & 1/3 & -4/3 & -4/3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
2行目を3/5倍する:
(1−1/31/31/30001−8/5−2/53/5001/3−4/3−4/301)\begin{pmatrix} 1 & -1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -8/5 & -2/5 & 3/5 & 0 \\ 0 & 1/3 & -4/3 & -4/3 & 0 & 1 \end{pmatrix}
1行目に2行目の1/3倍を加える、3行目から2行目の1/3倍を引く:
(10−1/51/51/5001−8/5−2/53/5000−4/5−6/5−1/51)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/5 & 1/5 & 1/5 & 0 \\ 0 & 1 & -8/5 & -2/5 & 3/5 & 0 \\ 0 & 0 & -4/5 & -6/5 & -1/5 & 1 \end{pmatrix}
3行目を-5/4倍する:
(10−1/51/51/5001−8/5−2/53/500013/21/4−5/4)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/5 & 1/5 & 1/5 & 0 \\ 0 & 1 & -8/5 & -2/5 & 3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 1/4 & -5/4 \end{pmatrix}
1行目に3行目の1/5倍を加える、2行目に3行目の8/5倍を加える:
(1001/21/4−1/401021−20013/21/4−5/4)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 & 1/4 & -1/4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3/2 & 1/4 & -5/4 \end{pmatrix}
したがって、A−1=(1/21/4−1/421−23/21/4−5/4)A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 & -1/4 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3/2 & 1/4 & -5/4 \end{pmatrix}
(3) X=A−1BX = A^{-1}B を計算します。
X=(1/21/4−1/421−23/21/4−5/4)(100−3793)=((10/2−3/4−9/4)(0+7/4−3/4)(20−3−18)(0+7−6)(30/2−3/4−45/4)(0+7/4−15/4))=(5−34/420−21115−12−8/4)=(21−113−2)X = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/4 & -1/4 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3/2 & 1/4 & -5/4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ -3 & 7 \\ 9 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (10/2 - 3/4 - 9/4) & (0 + 7/4 - 3/4) \\ (20 - 3 - 18) & (0 + 7 - 6) \\ (30/2 - 3/4 - 45/4) & (0 + 7/4 - 15/4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 3 & 4/4 \\ 20 - 21 & 1 \\ 15 - 12 & -8/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

X=(21−113−2)X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}

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