問題2：数ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}$ の一次結合として表すことのできないベクトル $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ を求めよ。 問題3： (1) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次独立ならば、$a_1, a_1+a_2$ も一次独立であることを示せ。 (2) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次従属ならば、$\mathbb{R}^3$ の任意の数ベクトル $a$ に対して、$a_1, a_2, a$ は一次従属であることを示せ。

1. 問題の内容

問題2：数ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}$ の一次結合として表すことのできないベクトル $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ を求めよ。

問題3：

(1) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次独立ならば、$a_1, a_1+a_2$ も一次独立であることを示せ。

(2) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $a_1, a_2$ が一次従属ならば、$\mathbb{R}^3$ の任意の数ベクトル $a$ に対して、$a_1, a_2, a$ は一次従属であることを示せ。

2. 解き方の手順

問題2：

$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ を $c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix}$ で表せると仮定すると、

$c_1 + 2c_2 = 3$

$c_1 - 2c_2 = 4$

これを解くと、$c_1 = \frac{7}{2}, c_2 = -\frac{1}{4}$ となる。

一次結合で表せないベクトルを求めるには、この連立方程式が解を持たないようにする必要がある。つまり、

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

$c_1 + 2c_2 = x$

$c_1 - 2c_2 = y$

$2c_1 = x + y$

$c_1 = \frac{x + y}{2}$

$4c_2 = x - y$

$c_2 = \frac{x - y}{4}$

この連立方程式は常に解を持つため、$c_2 = 0$ のときには、

$x-y \ne 0$　であれば良いので、

$x \ne y$　

問題3：

(1) $c_1a_1 + c_2(a_1 + a_2) = 0$ と仮定する。 これを変形すると、$(c_1 + c_2)a_1 + c_2a_2 = 0$ となる。

$a_1, a_2$ は一次独立であるから、$c_1 + c_2 = 0$ かつ $c_2 = 0$ でなければならない。

$c_2 = 0$ を $c_1 + c_2 = 0$ に代入すると、$c_1 = 0$ となる。

したがって、$c_1 = 0, c_2 = 0$ なので、$a_1, a_1 + a_2$ は一次独立である。

(2) $a_1, a_2$ が一次従属であるから、$c_1a_1 + c_2a_2 = 0$ を満たす $c_1, c_2$ が存在し、少なくとも一方は0でない。例えば、$c_1 \ne 0$ と仮定する。すると、$a_1 = -\frac{c_2}{c_1} a_2$ と表せる。

任意のベクトル $a$ に対して、$0a_1 + 0a_2 + 1a = a$ と表せる。ここで、 $0a_1 + 0a_2 + 1a = 0$ となるのは、$a=0$ の場合だけである。

もし、$a_1, a_2$ の少なくとも一方がゼロベクトルならば、 $a_1, a_2, a$ は明らかに一次従属。

$c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a = 0$

例えば、$c_3 \ne 0$の場合。

3. 最終的な答え

問題2：$x \ne y$であるような$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

問題3：証明完了