(1) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$ が一次独立であるとき、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2$ も一次独立であることを示す。 (2) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトルの組 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$ が一次従属であるとき、$\mathbb{R}^3$ の任意の数ベクトル $\mathbf{a}$ に対して、組 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}$ は一次従属であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトル $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$ が一次独立であるとき、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2$ も一次独立であることを示す。

(2) $\mathbb{R}^3$ の数ベクトルの組 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$ が一次従属であるとき、$\mathbb{R}^3$ の任意の数ベクトル $\mathbf{a}$ に対して、組 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}$ は一次従属であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2$ が一次独立であることは、

$c_1\mathbf{a}_1 + c_2(\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2) = \mathbf{0}$ ならば $c_1 = c_2 = 0$ であることを示すことで示せる。

$c_1\mathbf{a}_1 + c_2(\mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2) = (c_1 + c_2)\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2 = \mathbf{0}$

ここで、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$ は一次独立なので、$c_1 + c_2 = 0$ かつ $c_2 = 0$ が成り立つ。

$c_2 = 0$ より、$c_1 + c_2 = c_1 = 0$ となる。

したがって、$c_1 = c_2 = 0$ なので、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2$ は一次独立である。

(2)

$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2$ が一次従属であるので、ある定数 $c_1, c_2$ (ただし、$c_1, c_2$ の少なくとも一方は 0 でない) が存在して、

$c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2 = \mathbf{0}$

が成り立つ。

このとき、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}$ に対して、

$c_1\mathbf{a}_1 + c_2\mathbf{a}_2 + 0\mathbf{a} = \mathbf{0}$

が成り立つ。ここで、$c_1, c_2$ の少なくとも一方は 0 でないので、$c_1, c_2, 0$ の少なくとも一つは 0 でない。

したがって、$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}$ は一次従属である。

3. 最終的な答え

(1) $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2$ は一次独立である。

(2) $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}$ は一次従属である。