$\mathbb{R}^3$の数ベクトル$a_1, a_2$が一次独立ならば、$a_1, a_1+a_2$も一次独立であることを示す問題です。

1. 問題の内容

$\mathbb{R}^3$の数ベクトル$a_1, a_2$が一次独立ならば、$a_1, a_1+a_2$も一次独立であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

$a_1, a_1+a_2$が一次独立であることを示すには、

$c_1a_1 + c_2(a_1+a_2) = 0$

が成り立つならば、$c_1 = c_2 = 0$となることを示せばよいです。

上記の式を変形すると、

$(c_1+c_2)a_1 + c_2a_2 = 0$

となります。ここで、$a_1, a_2$は一次独立であるため、

$c_1 + c_2 = 0$

$c_2 = 0$

が成り立ちます。

$c_2 = 0$を$c_1 + c_2 = 0$に代入すると、$c_1 = 0$となります。

したがって、$c_1 = c_2 = 0$が示されたので、$a_1, a_1+a_2$は一次独立であると言えます。

3. 最終的な答え

$a_1, a_2$が一次独立ならば、$a_1, a_1+a_2$も一次独立である。