正の数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 3$ および $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ (for $n = 1, 2, 3, \dots$)で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ。

1. 問題の内容

正の数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 3$ および $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ (for $n = 1, 2, 3, \dots$)で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の極限が存在すると仮定し、その極限値を $\alpha$ とします。つまり、$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ とします。このとき、$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ も成り立ちます。

漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ の両辺について、$n \to \infty$ の極限を取ると、

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\alpha = \sqrt{\alpha + 7} - 1

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となります。この式を $\alpha$ について解きます。

まず、両辺に 1 を足すと

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\alpha + 1 = \sqrt{\alpha + 7}

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両辺を 2 乗すると

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(\alpha + 1)^2 = \alpha + 7

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展開して整理すると

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\alpha^2 + 2\alpha + 1 = \alpha + 7

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\alpha^2 + \alpha - 6 = 0

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この 2 次方程式を解くと

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(\alpha + 3)(\alpha - 2) = 0

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したがって、$\alpha = -3$ または $\alpha = 2$ となります。

しかし、$a_n$ は正の数列なので、極限値も正である必要があります。したがって、$\alpha = 2$ が適切です。

次に、$a_n$が実際に$2$に収束することを示す必要があります。

まず、$a_n > 0$であることは明らかです。

$a_1 = 3 > 2$ であり、$a_n > 2$ と仮定すると、

$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1 > \sqrt{2+7} - 1 = 3-1=2$

となるため、$a_n>2$です.

次に、数列$a_n$が単調減少であることを示します.

$a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n + 7} - 1 - a_n$

ここで、$f(x) = \sqrt{x+7} - 1 - x$と定義すると,

$f(2) = \sqrt{9} - 1 - 2 = 0$

$f(3) = \sqrt{10} - 4 < 3.2 - 4 < 0$

となります.

$a_{n+1} - a_n < 0$を示すことは、$\sqrt{a_n + 7} - 1 < a_n$ を示すことと同値です。

これは、$\sqrt{a_n+7} < a_n+1$と言い換えられます。

両辺を二乗すると、$a_n + 7 < a_n^2 + 2a_n + 1$となり、これは$a_n^2 + a_n - 6 > 0$と同値です。

$a_n^2 + a_n - 6 = (a_n+3)(a_n-2)$なので、$a_n>2$である限り、$a_n^2+a_n-6>0$となります。

したがって、$a_{n+1} < a_n$です。

有界な単調減少数列は収束するので、数列 $\{a_n\}$ は収束します。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} a_n = 2$