正の数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$、$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ (for $n = 1, 2, 3, \dots$)で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

正の数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$、$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ (for $n = 1, 2, 3, \dots$)で定義されるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の極限を求めるために、まず極限が存在すると仮定して、その値を求めます。その後、数列が単調増加または単調減少であることを示し、極限が存在することを証明します。

(1) 極限が存在すると仮定し、その値を $L$ とします。つまり、$\lim_{n \to \infty} a_n = L$ とします。

このとき、$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = L$ も成り立ちます。

漸化式 $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$ において、$n \to \infty$ とすると、

$L = \sqrt{L+7} - 1$

$L+1 = \sqrt{L+7}$

両辺を2乗して、$(L+1)^2 = L+7$

$L^2 + 2L + 1 = L + 7$

$L^2 + L - 6 = 0$

$(L+3)(L-2) = 0$

$L = -3$ または $L = 2$

数列 $\{a_n\}$ は正の数列なので、$L \geq 0$ である必要があり、$L = 2$ となります。

(2) 数列 $\{a_n\}$ が単調減少であることを示すために、$a_{n+1} - a_n < 0$ を示します。

$a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n + 7} - 1 - a_n$

ここで、$f(x) = \sqrt{x+7} - 1 - x$ とおきます。

$f(2) = \sqrt{2+7} - 1 - 2 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+7}} - 1$

$f'(x) < 0$ であることを示す。

$x \geq 0$ について、$2\sqrt{x+7} > 1$ となるのは、$4(x+7) > 1$, $x+7 > \frac{1}{4}$, $x > -\frac{27}{4}$.

$a_1 = 3 > 2$.

$a_n > 2$ であると仮定する。

$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1$.

$a_n > 2$ なので、$a_n + 7 > 9$ なので、$\sqrt{a_n + 7} > 3$ なので、$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 7} - 1 > 3 - 1 = 2$.

よって、$a_n > 2$ ならば $a_{n+1} > 2$ なので、すべての $n$ について $a_n > 2$ である。

$a_2 = \sqrt{3+7} - 1 = \sqrt{10} - 1 \approx 3.16 - 1 = 2.16$

$a_2 - a_1 = 2.16 - 3 = -0.84 < 0$.

$a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n + 7} - 1 - a_n$.

$f(x) = \sqrt{x+7} - 1 - x$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+7}} - 1 < 0$ なので $f(x)$ は減少関数である。

$a_n > 2$ なので、$a_{n+1} - a_n = f(a_n) < f(2) = 0$

したがって、$a_{n+1} < a_n$ となり、$\{a_n\}$ は単調減少列である。

$\{a_n\}$ は単調減少であり、下に有界（2より大きい）なので、極限を持つ。

3. 最終的な答え

$\lim_{n \to \infty} a_n = 2$