自然数Nを3進法で表すと4桁の数 $1ab1_{(3)}$ となり、5進法で表すと3桁の数 $a0b_{(5)}$ となる。 このとき、$a$, $b$, $N$ を求める。

1. 問題の内容

自然数Nを3進法で表すと4桁の数 $1ab1_{(3)}$ となり、5進法で表すと3桁の数 $a0b_{(5)}$ となる。 このとき、$a$, $b$, $N$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$1ab1_{(3)}$ は3進法の数、$a0b_{(5)}$ は5進法の数であることから、$a$ と $b$ の範囲を求める。

$a$ は3進法で使える数字なので $0 \le a \le 2$、$b$ も3進法で使える数字なので $0 \le b \le 2$。

同様に、$a$ と $b$ は5進法で使える数字なので $0 \le a \le 4$、$0 \le b \le 4$。

したがって、$0 \le a \le 2$、$0 \le b \le 2$。

次に、$1ab1_{(3)}$ と $a0b_{(5)}$ をそれぞれ10進法で表す。

$N = 1ab1_{(3)} = 1 \times 3^3 + a \times 3^2 + b \times 3^1 + 1 \times 3^0 = 27 + 9a + 3b + 1 = 9a + 3b + 28$。よって、5 に入るのは 9、6 に入るのは 3、7 に入るのは 28 となる。

$N = a0b_{(5)} = a \times 5^2 + 0 \times 5^1 + b \times 5^0 = 25a + b$。よって、9 に入るのは 25 となる。

これらの式から $9a + 3b + 28 = 25a + b$ となるので、

$2b = 16a - 28$

$b = 8a - 14$

よって、11 に入るのは 8、12 に入るのは 14となる。

$0 \le a \le 2$、$0 \le b \le 2$を満たす整数 $a$, $b$ を求める。

$a=2$ のとき、$b = 8 \times 2 - 14 = 16 - 14 = 2$。

これは条件を満たす。

よって、$a=2$, $b=2$。

したがって、14 に入るのは 2、15 に入るのは 2となる。

$N = 25a + b = 25 \times 2 + 2 = 50 + 2 = 52$

よって、16 に入るのは 52 となる。

3. 最終的な答え

$a=2$, $b=2$, $N=52$

3: 0

4: 0

5: 9

6: 3

7: 28

9: 25

11: 8

12: 14

14: 2

15: 2

16: 52