3つの直線 $x-2y+8=0$, $x+y-1=0$, $ax+y-5=0$ が三角形を作らないときの定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3つの直線 $x-2y+8=0$, $x+y-1=0$, $ax+y-5=0$ が三角形を作らないときの定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形ができないのは、以下の3つの場合が考えられる。

(1) 3つの直線の中に平行なものが存在する。

(2) 3つの直線が1点で交わる。

(3) 2つの直線が一致する。（3直線の場合に含まれる）

(1) 3つの直線の中に平行なものが存在する。

3つの直線の傾きをそれぞれ求める。

$x-2y+8=0$ より $2y = x+8$ なので $y = \frac{1}{2}x + 4$。傾きは $\frac{1}{2}$。

$x+y-1=0$ より $y=-x+1$。傾きは $-1$。

$ax+y-5=0$ より $y = -ax+5$。傾きは $-a$。

よって、

$-a = \frac{1}{2}$ のとき $a = -\frac{1}{2}$

$-a = -1$ のとき $a = 1$

したがって、$a = -\frac{1}{2}, 1$

(2) 3つの直線が1点で交わる。

$x-2y+8=0$ と $x+y-1=0$ の交点を求める。

$x-2y+8=0$

$x+y-1=0$

上の式から下の式を引くと、$-3y+9=0$ より $y=3$。

$x+3-1=0$ より $x=-2$。

交点は $(-2, 3)$。

$ax+y-5=0$ がこの点を通るので、

$a(-2)+3-5=0$

$-2a -2 = 0$

$-2a = 2$

$a = -1$

したがって、$a = -1$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}, -1, 1$