図において、$\angle x$と$\angle y$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

図において、$\angle x$と$\angle y$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

四角形ABCDの内角の和は360度である。

$\angle B = 30^\circ + \angle ABD$

$\angle C = 42^\circ + \angle ACD$

$\angle D = 57^\circ + x$

$\angle A = 57^\circ + y$

三角形ABDにおいて、

$\angle ADB = 57^\circ$

$\angle BAD = y$

$\angle ABD = 180^\circ - 57^\circ - y = 123^\circ - y$

三角形ACDにおいて、

$\angle DAC = 57^\circ$

$\angle ACD = 42^\circ$

$\angle ADC = 180^\circ - 57^\circ - 42^\circ = 81^\circ$

四角形ABCDの内角の和は360度なので、

$(57^\circ + y) + (30^\circ + 123^\circ - y) + (42^\circ + x) + (57^\circ + x) = 360^\circ$

$57^\circ + y + 30^\circ + 123^\circ - y + 42^\circ + x + 57^\circ + x = 360^\circ$

$309^\circ + 2x = 360^\circ$

$2x = 360^\circ - 309^\circ = 51^\circ$

$x = \frac{51^\circ}{2} = 25.5^\circ$

三角形ADCにおいて、

$\angle ADC = x + 57^\circ$ であるから、

$x = 25.5^\circ$ より、$\angle ADC = 25.5^\circ + 57^\circ = 82.5^\circ$

$57^\circ + 42^\circ + 82.5^\circ = 181.5^\circ$ これは矛盾

$\angle ABC + \angle ADC = (30^\circ + y) + (57^\circ + x) = 180^\circ$

$y + x = 180^\circ - 30^\circ - 57^\circ = 93^\circ$

$\angle BCD + \angle BAD = (42^\circ + x) + (57^\circ + y) = 180^\circ$

$x + y = 180^\circ - 42^\circ - 57^\circ = 81^\circ$

これは矛盾

四角形ABCDについて、

$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$

$(57^\circ + y) + (30^\circ + \angle ABD) + (42^\circ + x) + (57^\circ + x) = 360^\circ$

三角形ABDについて、

$\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$

$y + \angle ABD + 57^\circ = 180^\circ$

$\angle ABD = 123^\circ - y$

$(57^\circ + y) + (30^\circ + 123^\circ - y) + (42^\circ + x) + (57^\circ + x) = 360^\circ$

$57^\circ + y + 30^\circ + 123^\circ - y + 42^\circ + x + 57^\circ + x = 360^\circ$

$309^\circ + 2x = 360^\circ$

$2x = 51^\circ$

$x = 25.5^\circ$

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

$(30^\circ + y) + (57^\circ + x) = 180^\circ$

$30^\circ + y + 57^\circ + 25.5^\circ = 180^\circ$

$y + 112.5^\circ = 180^\circ$

$y = 67.5^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle x = 25.5^\circ$

$\angle y = 67.5^\circ$