右の図で、点Gは$\triangle ABC$の重心である。$x$の値を求めなさい。

## 数学の問題の解答

### 【3】の問題

1. 問題の内容

右の図で、点Gは$\triangle ABC$の重心である。$x$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

重心Gは中線を2:1に内分する。

図から、AG = 8であり、Gは中線を2:1に内分するので、BG:GC=1:2

中線を2:1に内分するので、$AG:GD = 2:1$

$AG = 8$より、$GD = \frac{1}{2}AG = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$

図より、$x=GD$なので、$x=4$

3. 最終的な答え

$x = 4$

### 【4】の問題

1. 問題の内容

右の図で、点Oは$\triangle ABC$の外心である。$\angle x$の大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

外心は三角形の各頂点からの距離が等しい。

したがって、$OA = OB = OC$である。

$\triangle OAC$は$OA=OC$の二等辺三角形なので、$\angle OAC = \angle OCA = 20^\circ$

$\triangle OBC$は$OB=OC$の二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = 30^\circ$

したがって、$\angle BAC = 20^\circ + \angle OAB$, $\angle BCA = 30^\circ + \angle OCA$

$\triangle OAB$は$OA=OB$の二等辺三角形なので、$\angle OAB = \angle OBA = x$

$\triangle ABC$の内角の和は180度なので、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$

$(x+20^\circ) + x + (30^\circ+30^\circ) = 180^\circ$

$2x+50^\circ+30^\circ = 180^\circ$

$2x+80^\circ = 180^\circ$

$2x = 100^\circ$

$x = 50^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle x = 50^\circ$

### 【5】の問題

1. 問題の内容

右の図で、点Iは$\triangle ABC$の内心である。$\angle x$の大きさを求めなさい。

2. 解き方の手順

内心は三角形の内角の二等分線の交点である。

したがって、$\angle ABI = \angle CBI = 27^\circ$、$\angle ACI = \angle BCI = 48^\circ$

$\angle ABC = 2 \cdot 27^\circ = 54^\circ$

$\angle ACB = 2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$

$\triangle ABC$の内角の和は180度なので、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$\angle BAC + 54^\circ + 96^\circ = 180^\circ$

$\angle BAC + 150^\circ = 180^\circ$

$\angle BAC = 30^\circ$

内心は内角の二等分線の交点なので、$\angle BAI = \angle CAI = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2}\cdot 30^\circ = 15^\circ$

よって、$\angle x = 15^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle x = 15^\circ$