多項式 $P(x)$ が与えられており、以下の条件が与えられている。 * $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると、余りは $8x+4$ である。 * $P(x)$ は $(x+1)^2$ で割り切れる。 このとき、以下の問題を解く。 (8) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割った余りを求める。 (9) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割った余りを求める。

代数学多項式剰余の定理因数定理割り算
2025/7/18

1. 問題の内容

多項式 P(x)P(x) が与えられており、以下の条件が与えられている。
* P(x)P(x)(x1)2(x-1)^2 で割ると、余りは 8x+48x+4 である。
* P(x)P(x)(x+1)2(x+1)^2 で割り切れる。
このとき、以下の問題を解く。
(8) P(x)P(x)(x1)(x+1)(x-1)(x+1) で割った余りを求める。
(9) P(x)P(x)(x1)(x+1)2(x-1)(x+1)^2 で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

(8) P(x)P(x)(x1)(x+1)(x-1)(x+1) で割った余りを求める。
P(x)P(x)(x1)(x+1)=x21(x-1)(x+1) = x^2-1 で割った余りは、1次以下の多項式 ax+bax+b で表すことができる。
したがって、
P(x)=(x21)Q(x)+ax+bP(x) = (x^2-1)Q(x) + ax + b
と表せる。ここで、Q(x)Q(x) は商である。
P(1)=8(1)+4=12P(1) = 8(1) + 4 = 12 であり、P(1)=0P(-1) = 0 である。
上の式に x=1x=1 を代入すると、
P(1)=(121)Q(1)+a(1)+b=a+b=12P(1) = (1^2 - 1)Q(1) + a(1) + b = a+b = 12
x=1x=-1 を代入すると、
P(1)=((1)21)Q(1)+a(1)+b=a+b=0P(-1) = ((-1)^2 - 1)Q(-1) + a(-1) + b = -a+b = 0
2式を連立させて解くと、
a+b=12a+b = 12
a+b=0-a+b = 0
より、2b=122b=12 なので b=6b=6a=6a=6 である。
よって、余りは 6x+66x+6 である。
(9) P(x)P(x)(x1)(x+1)2(x-1)(x+1)^2 で割った余りを求める。
P(x)P(x)(x1)(x+1)2(x-1)(x+1)^2 で割った余りは、2次以下の多項式 ax2+bx+cax^2+bx+c で表すことができる。
P(x)=(x1)(x+1)2R(x)+ax2+bx+cP(x) = (x-1)(x+1)^2R(x) + ax^2+bx+c
と表せる。ここで、R(x)R(x) は商である。
P(x)=(x+1)2S(x)P(x) = (x+1)^2S(x) と書けるので、P(x)P(x)(x+1)2(x+1)^2 で割り切れる。
ax2+bx+c=a(x+1)2+6x+6ax^2+bx+c = a(x+1)^2 + 6x + 6
と表すことができる。
P(x)P(x)(x1)2(x-1)^2 で割ると、余りは 8x+48x+4 なので、
P(x)=(x1)2T(x)+8x+4P(x) = (x-1)^2T(x) + 8x+4
P(1)=8(1)+4=12P(1) = 8(1)+4 = 12
P(1)=a(1+1)2+6(1)+6=4a+12=12P(1) = a(1+1)^2 + 6(1) + 6 = 4a + 12 = 12
4a=04a = 0
a=0a=0
したがって、ax2+bx+c=6x+6ax^2+bx+c = 6x+6

3. 最終的な答え

(8) 6x+66x+6
(9) 6x+66x+6

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