多項式 $P(x)$ が与えられており、以下の条件が与えられている。 * $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると、余りは $8x+4$ である。 * $P(x)$ は $(x+1)^2$ で割り切れる。 このとき、以下の問題を解く。 (8) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)$ で割った余りを求める。 (9) $P(x)$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割った余りを求める。
2025/7/18
1. 問題の内容
多項式 が与えられており、以下の条件が与えられている。
* を で割ると、余りは である。
* は で割り切れる。
このとき、以下の問題を解く。
(8) を で割った余りを求める。
(9) を で割った余りを求める。
2. 解き方の手順
(8) を で割った余りを求める。
を で割った余りは、1次以下の多項式 で表すことができる。
したがって、
と表せる。ここで、 は商である。
であり、 である。
上の式に を代入すると、
を代入すると、
2式を連立させて解くと、
より、 なので 、 である。
よって、余りは である。
(9) を で割った余りを求める。
を で割った余りは、2次以下の多項式 で表すことができる。
と表せる。ここで、 は商である。
と書けるので、 は で割り切れる。
と表すことができる。
を で割ると、余りは なので、
したがって、
3. 最終的な答え
(8)
(9)