2次不等式 $ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + 2x + 4a < 0$ の解がすべての実数であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* $a < 0$ (上に凸の放物線であること)

* 判別式 $D < 0$ (グラフが $x$ 軸と交わらないこと)

判別式 $D$ は、$D = 2^2 - 4 \cdot a \cdot 4a = 4 - 16a^2$ で求められます。

したがって、$D < 0$ より、

$4 - 16a^2 < 0$

$16a^2 > 4$

$4a^2 > 1$

$a^2 > \frac{1}{4}$

$a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$

条件 $a < 0$ と、$a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$ を両方満たすのは、$a < -\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$a < -\frac{1}{2}$