サイコロを2回振って出た目を順に $m, n$ とします。以下の確率を求め、選択肢から選びます。 (1) $\log_2 m - \log_2 n = 1$ となる確率 (2) $2^m \times 4^n \leq 64$ となる確率 (3) $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \leq \frac{1}{2}$ となる確率 (4) $\sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{m+n}$ となる確率

1. 問題の内容

サイコロを2回振って出た目を順に $m, n$ とします。以下の確率を求め、選択肢から選びます。

(1) $\log_2 m - \log_2 n = 1$ となる確率

(2) $2^m \times 4^n \leq 64$ となる確率

(3) $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \leq \frac{1}{2}$ となる確率

(4) $\sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{m+n}$ となる確率

2. 解き方の手順

(1) $\log_2 m - \log_2 n = 1$ より、$\log_2 \frac{m}{n} = 1$ なので、$\frac{m}{n} = 2$。つまり $m = 2n$。$m, n$ は1から6までの整数なので、$(m, n) = (2, 1), (4, 2), (6, 3)$ の3通り。サイコロの目の出方は $6 \times 6 = 36$ 通りなので、確率は $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$。よって、選択肢の2。

(2) $2^m \times 4^n \leq 64$ より、$2^m \times 2^{2n} \leq 2^6$ なので、$m + 2n \leq 6$。

$n=1$ のとき、$m \leq 4$。 $(m, n) = (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)$

$n=2$ のとき、$m \leq 2$。 $(m, n) = (1, 2), (2, 2)$

$n=3$ のとき、$m \leq 0$。該当なし。

よって、6通り。確率は $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$。よって、選択肢の4。

(3) $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} \leq \frac{1}{2}$ より、$\frac{m+n}{mn} \leq \frac{1}{2}$ なので、$2(m+n) \leq mn$。つまり、$mn - 2m - 2n \geq 0$。

$mn - 2m - 2n + 4 \geq 4$ より、$(m-2)(n-2) \geq 4$。

$m, n$ は1から6までの整数。

$m=1$ のとき、$(1-2)(n-2) = -(n-2) \geq 4$ より、 $n-2 \leq -4$。$n \leq -2$ なので、該当なし。

$m=2$ のとき、$(2-2)(n-2) = 0 \geq 4$ なので、該当なし。

$m=3$ のとき、$(3-2)(n-2) = n-2 \geq 4$ より、$n \geq 6$。$n=6$。$(3, 6)$

$m=4$ のとき、$(4-2)(n-2) = 2(n-2) \geq 4$ より、$n-2 \geq 2$。$n \geq 4$。$(4, 4), (4, 5), (4, 6)$

$m=5$ のとき、$(5-2)(n-2) = 3(n-2) \geq 4$ より、$n-2 \geq \frac{4}{3}$。$n \geq \frac{10}{3} = 3.33...$。$n = 4, 5, 6$。$(5, 4), (5, 5), (5, 6)$

$m=6$ のとき、$(6-2)(n-2) = 4(n-2) \geq 4$ より、$n-2 \geq 1$。$n \geq 3$。$(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)$

合計 $1 + 3 + 3 + 4 = 11$ 通り。確率は $\frac{11}{36}$。よって、選択肢の6。

(4) $\sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{m+n}$ の両辺を2乗すると、$m + 2\sqrt{mn} + n = m + n$。よって、$2\sqrt{mn} = 0$。つまり、$mn = 0$。しかし、$m, n$ は1から6までの整数なので、$mn=0$ となることはない。

計算ミス：

$\sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{m+n}$。両辺を2乗して、$m + 2\sqrt{mn} + n = m + n$ なので、$2\sqrt{mn} = 0$。$\sqrt{mn} = 0$。$mn = 0$。しかし、$m, n$ はサイコロの目なので、0にはならない。よって、解なし。確率は0。よって、選択肢の1。

$\sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{m+n}$ を2乗すると、$m+2\sqrt{mn}+n = m+n$。よって、$2\sqrt{mn} = 0$。従って、$mn = 0$。しかし、$m,n$ は1から6の間の整数なので、ありえない。したがって、確率は0である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{12}$ (選択肢2)

(2) $\frac{1}{6}$ (選択肢4)

(3) $\frac{11}{36}$ (選択肢6)

(4) $0$ (選択肢1)