3つの箱A, B, Cがあります。Aには赤玉2個と白玉3個、Bには赤玉3個と白玉3個、Cには赤玉4個と白玉3個が入っています。これらの箱から1つを選び、選んだ箱から1つの玉を取り出すとき、以下の確率を求めます。 (1) 取り出した玉が赤玉である確率 (2) 取り出した玉が赤玉であったとき、選んだ箱がAである条件付き確率 箱を選ぶ確率はどの箱も等しく $\frac{1}{3}$ です。

1. 問題の内容

3つの箱A, B, Cがあります。Aには赤玉2個と白玉3個、Bには赤玉3個と白玉3個、Cには赤玉4個と白玉3個が入っています。これらの箱から1つを選び、選んだ箱から1つの玉を取り出すとき、以下の確率を求めます。

(1) 取り出した玉が赤玉である確率

(2) 取り出した玉が赤玉であったとき、選んだ箱がAである条件付き確率

箱を選ぶ確率はどの箱も等しく $\frac{1}{3}$ です。

2. 解き方の手順

(1) 取り出した玉が赤玉である確率

それぞれの箱を選んだ場合に赤玉を取り出す確率を計算し、それらを合計します。

* 箱Aを選び、赤玉を取り出す確率: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$

* 箱Bを選び、赤玉を取り出す確率: $\frac{1}{3} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{6} = \frac{5}{30}$

* 箱Cを選び、赤玉を取り出す確率: $\frac{1}{3} \times \frac{4}{7} = \frac{4}{21} = \frac{20}{105}$

取り出した玉が赤玉である確率は、これらの確率の合計です。

$\frac{2}{15} + \frac{1}{6} + \frac{4}{7} = \frac{14}{105} + \frac{35}{210} + \frac{20}{105} = \frac{28 + 35 + 40}{210} = \frac{103}{210}$

(2) 赤玉を取り出したとき、選んだ箱がAである条件付き確率

これは条件付き確率の問題であり、以下の公式を使用します。

$P(A|赤玉) = \frac{P(A \cap 赤玉)}{P(赤玉)}$

ここで、$P(A \cap 赤玉)$ は箱Aを選び、赤玉を取り出す確率であり、$P(赤玉)$ は赤玉を取り出す確率です。

$P(A \cap 赤玉) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$

$P(赤玉) = \frac{103}{210}$ （上記で計算）

$P(A|赤玉) = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{103}{210}} = \frac{2}{15} \times \frac{210}{103} = \frac{2 \times 14}{103} = \frac{28}{103}$

3. 最終的な答え

(1) 取り出した玉が赤玉である確率: $\frac{103}{210}$

(2) 赤玉を取り出したとき、選んだ箱がAである条件付き確率: $\frac{28}{103}$