母平均の区間推定において、信頼度を一定としたまま、標本サイズを半分にした場合、信頼区間の幅は何倍になるかを求める。

## 問364'

1. 問題の内容

母平均の区間推定において、信頼度を一定としたまま、標本サイズを半分にした場合、信頼区間の幅は何倍になるかを求める。

2. 解き方の手順

母平均の区間推定における信頼区間の幅は、一般的に次の式で表される。

$幅 = z * \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$z$は信頼係数、$σ$は母集団の標準偏差、$n$は標本サイズである。

問題文より、信頼度は一定であるから、$z$は変化しない。また、母集団の標準偏差$σ$も変化しない。標本サイズ$n$が半分になるので、$n$を$\frac{n}{2}$で置き換える。

新しい幅を$幅'$とすると、

$幅' = z * \frac{\sigma}{\sqrt{\frac{n}{2}}} = z * \frac{\sigma}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}} = z * \frac{\sigma}{\sqrt{n}} * \sqrt{2} = 幅 * \sqrt{2}$

したがって、信頼区間の幅は$\sqrt{2}$倍になる。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$倍