次の総数を求める。 (1) "TOMATO" の6文字をすべて使ってできる文字列の数 (2) 7人が輪になって並ぶ方法 (3) 7人のうち4人が1列に並ぶ方法 (4) 男子6人、女子7人の中から4人の代表を選ぶとき、男女2人ずつ選ぶ方法

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

次の総数を求める。

(1) "TOMATO" の6文字をすべて使ってできる文字列の数

(2) 7人が輪になって並ぶ方法

(3) 7人のうち4人が1列に並ぶ方法

(4) 男子6人、女子7人の中から4人の代表を選ぶとき、男女2人ずつ選ぶ方法

2. 解き方の手順

(1) "TOMATO" の6文字をすべて使ってできる文字列の数

"TOMATO" は、Tが2つ、Oが2つ、MとAが1つずつです。

したがって、6文字の並び順は、同じものを含む順列の公式を用いて計算できます。

$\frac{6!}{2!2!1!1!} = \frac{720}{4} = 180$

(2) 7人が輪になって並ぶ方法

円順列の公式を利用します。n人が輪になって並ぶ方法は、(n-1)! 通りです。

したがって、7人が輪になって並ぶ方法は、(7-1)! = 6! = 720 通りです。

(3) 7人のうち4人が1列に並ぶ方法

7人の中から4人を選び、それらを1列に並べる順列の数を求めます。

これは、$_7P_4$ で表され、計算式は $\frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ 通りです。

(4) 男子6人、女子7人の中から4人の代表を選ぶとき、男女2人ずつ選ぶ方法

男子6人から2人を選ぶ組み合わせは、$_6C_2$ であり、計算式は $\frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

女子7人から2人を選ぶ組み合わせは、$_7C_2$ であり、計算式は $\frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通りです。

したがって、男女2人ずつ選ぶ方法は、$15 \times 21 = 315$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 180

(2) 720

(3) 840

(4) 315