赤玉2個と白玉4個が入った袋から、玉を1個ずつ続けて2個取り出す。1番目の玉の色を見ないで箱の中に入れ、2番目の玉が赤玉であったとき、1番目の玉が赤玉である確率を求める問題です。

1. 問題の内容

赤玉2個と白玉4個が入った袋から、玉を1個ずつ続けて2個取り出す。1番目の玉の色を見ないで箱の中に入れ、2番目の玉が赤玉であったとき、1番目の玉が赤玉である確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

事象を以下のように定義します。

* A：1番目の玉が赤玉である

* B：2番目の玉が赤玉である

求めたいのは条件付き確率 $P(A|B)$ です。

ベイズの定理を用いると、

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

ここで、$P(A)$ は1番目の玉が赤玉である確率、$P(B|A)$ は1番目の玉が赤玉のとき、2番目の玉が赤玉である確率、$P(B)$ は2番目の玉が赤玉である確率です。

まず、$P(A)$ を計算します。

袋の中には赤玉2個、白玉4個の合計6個の玉が入っているので、

$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

次に、$P(B|A)$ を計算します。

1番目の玉が赤玉であったとき、袋の中には赤玉1個、白玉4個の合計5個の玉が残っているので、

$P(B|A) = \frac{1}{5}$

最後に、$P(B)$ を計算します。

$P(B)$は、1番目の玉が赤玉の場合と白玉の場合に分けて考えます。

* 1番目の玉が赤玉の場合、$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$

* 1番目の玉が白玉の場合、$P(\bar{A}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

　このとき、$P(B|\bar{A})$は、1番目の玉が白玉であったとき、袋の中には赤玉2個、白玉3個の合計5個の玉が残っているので、$P(B|\bar{A}) = \frac{2}{5}$

　$P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B|\bar{A}) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$

したがって、$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = \frac{1}{15} + \frac{4}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

よって、$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}$