袋の中に赤玉5個、白玉3個、青玉2個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、取り出した玉に含まれる色の種類の数を確率変数 $X$ とする。$X$ の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉5個、白玉3個、青玉2個が入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、取り出した玉に含まれる色の種類の数を確率変数 $X$ とする。$X$ の期待値を求める。

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を取り出す方法の総数を計算する。これは、10個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、

$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ 通り。

次に、確率変数 $X$ が取りうる値を考える。3個の玉を取り出すとき、含まれる色の種類は1, 2, 3のいずれかである。

それぞれの確率を計算する。

(i) $X = 1$ のとき:

3個とも同じ色である必要がある。

3個とも赤の場合: $_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ 通り

3個とも白の場合: $_3C_3 = 1$ 通り

3個とも青の場合はありえない (青玉は2個しかない)。

したがって、$P(X=1) = \frac{10 + 1}{120} = \frac{11}{120}$

(ii) $X = 2$ のとき:

2色のみが含まれる場合を考える。

- 赤と白の場合: (赤2個, 白1個) + (赤1個, 白2個) = $_5C_2 \times _3C_1 + _5C_1 \times _3C_2 = 10 \times 3 + 5 \times 3 = 30 + 15 = 45$

- 赤と青の場合: (赤2個, 青1個) + (赤1個, 青2個) = $_5C_2 \times _2C_1 + _5C_1 \times _2C_2 = 10 \times 2 + 5 \times 1 = 20 + 5 = 25$

- 白と青の場合: (白2個, 青1個) + (白1個, 青2個) = $_3C_2 \times _2C_1 + _3C_1 \times _2C_2 = 3 \times 2 + 3 \times 1 = 6 + 3 = 9$

したがって、$P(X=2) = \frac{45 + 25 + 9}{120} = \frac{79}{120}$

(iii) $X = 3$ のとき:

$P(X=3) = 1 - P(X=1) - P(X=2) = 1 - \frac{11}{120} - \frac{79}{120} = \frac{120 - 11 - 79}{120} = \frac{30}{120} = \frac{1}{4}$

期待値 $E(X)$ は次のように計算される。

$E(X) = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$E(X) = 1 \times \frac{11}{120} + 2 \times \frac{79}{120} + 3 \times \frac{30}{120}$

$E(X) = \frac{11 + 158 + 90}{120} = \frac{259}{120}$

3. 最終的な答え

$\frac{259}{120}$