5本のくじの中に3本の当たりくじがある。5人が順番にくじを引くとき、2番目、3番目、5番目の人が当たりくじを引く確率を求める。ただし、引いたくじは戻さない。

1. 問題の内容

5本のくじの中に3本の当たりくじがある。5人が順番にくじを引くとき、2番目、3番目、5番目の人が当たりくじを引く確率を求める。ただし、引いたくじは戻さない。

2. 解き方の手順

2番目、3番目、5番目の人が当たりくじを引くパターンを考える。

* パターン1：2番目、3番目、5番目の人が当たりを引く。

* パターン2：それ以外の順序で当たりを引く場合を考慮する。

まず、全てのくじの引き方の総数は、5本のくじから3本を選ぶ順列なので、 $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ ではなく、5人のくじの引き方は5! = 120通りですが、今回は、2,3,5番目の人の順番で考えるだけで十分なので、分母は、5本から3本を選び出す選び方なので、 $_{5}C_{3}$ 通りではない。

全体の引き方は、5人が順にくじを引く引き方なので、5本から3本を取り出す場合の数という解釈ではなく、考え方としては、5つの席に誰が座るのか考える順列の問題と似ている。

確率を計算するために、以下のように場合分けする。

* 2番目の人が当たりを引く確率：$3/5$

* 3番目の人が当たりを引く確率（2番目の人が当たりを引いた場合）：$2/4$

* 5番目の人が当たりを引く確率（2,3番目の人が当たりを引いた場合）：$1/3$

したがって、2番目、3番目、5番目の人が当たりを引く確率は、

$\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$

別の考え方：

3本の当たりくじと2本の外れくじがある。

5人のうち、2番目、3番目、5番目の人が当たりくじを引く確率。

全事象は、くじの引き方なので、5本のくじの並べ方で、5! = 120通り。

このうち、2番目、3番目、5番目が当たりくじである並べ方を考える。

まず、当たりくじを3つの場所に並べる。当たりくじの並べ方は、3! = 6通り。

次に、外れくじを残り2つの場所に並べる。外れくじの並べ方は、2! = 2通り。

したがって、2番目、3番目、5番目の人が当たりくじを引く場合の数は、3! * 2! = 6 * 2 = 12 通り

確率は、 $12/120 = 1/10$

3. 最終的な答え

1/10