男性7人、女性4人の計11人が、3人掛けの席が3つと、2人掛けの席が1つに分かれて座る。くじ引きで席を決める場合、2人掛けの席に男性と女性が座る確率を求める。

1. 問題の内容

男性7人、女性4人の計11人が、3人掛けの席が3つと、2人掛けの席が1つに分かれて座る。くじ引きで席を決める場合、2人掛けの席に男性と女性が座る確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、全ての座り方の総数を求める。次に、2人掛けの席に男性と女性が座る場合の数を求める。最後に、確率を計算し、約分する。

* **全ての座り方の総数**

11人の中から2人掛けの席に座る2人を選ぶ方法は$_{11}C_2$通り。残りの9人の中から3人掛けの席に座る3人を選ぶ方法は$_{9}C_3$通り。さらに残りの6人の中から3人掛けの席に座る3人を選ぶ方法は$_{6}C_3$通り。最後に残った3人が最後の3人掛けの席に座る。

3人掛けの席は区別しないので、3!で割る必要がある。

よって、全ての座り方の総数は、

$\frac{_{11}C_2 \cdot _{9}C_3 \cdot _{6}C_3}{3!} = \frac{\frac{11 \cdot 10}{2} \cdot \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{55 \cdot 84 \cdot 20}{6} = 55 \cdot 14 \cdot 20 = 15400$

* **2人掛けの席に男性と女性が座る場合の数**

まず、2人掛けの席に男性と女性が座る方法を選ぶ。男性7人の中から1人を選ぶ方法は$_{7}C_1 = 7$通り。女性4人の中から1人を選ぶ方法は$_{4}C_1 = 4$通り。

したがって、2人掛けの席に男性と女性が座る選び方は、$7 \cdot 4 = 28$通り。

次に、残りの9人（男性6人、女性3人）を3人掛けの席に座らせる。9人の中から3人掛けの席に座る3人を選ぶ方法は$_{9}C_3$通り。残りの6人の中から3人掛けの席に座る3人を選ぶ方法は$_{6}C_3$通り。最後に残った3人が最後の3人掛けの席に座る。

3人掛けの席は区別しないので、3!で割る必要がある。

よって、残りの9人の座り方は、

$\frac{_{9}C_3 \cdot _{6}C_3}{3!} = \frac{\frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{84 \cdot 20}{6} = 14 \cdot 20 = 280$

したがって、2人掛けの席に男性と女性が座る場合の数は、

$28 \cdot 280 = 7840$通り。

* **確率の計算**

求める確率は、

$\frac{7840}{15400} = \frac{784}{1540} = \frac{392}{770} = \frac{196}{385} = \frac{28}{55}$

3. 最終的な答え

28/55