1つのサイコロを投げて、5以上の目が出たらコインを2枚、4以下の目が出たらコインを1枚獲得する。この試行をn回行った後、獲得したコインの合計枚数が偶数である確率を$p_n$とする。 (1) $p_2$の値を求めよ。 (2) $p_3$の値を求めよ。 (3) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ。 (4) 数列$\{p_n\}$の一般項$p_n$を求めよ。

1. 問題の内容

1つのサイコロを投げて、5以上の目が出たらコインを2枚、4以下の目が出たらコインを1枚獲得する。この試行をn回行った後、獲得したコインの合計枚数が偶数である確率を$p_n$とする。

(1) $p_2$の値を求めよ。

(2) $p_3$の値を求めよ。

(3) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ。

(4) 数列$\{p_n\}$の一般項$p_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $p_2$を求める。

2回の試行で合計枚数が偶数になるのは、2回とも2枚獲得するか、2回とも1枚獲得する場合である。

2枚獲得する確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$、1枚獲得する確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

よって、$p_2 = (\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$。

(2) $p_3$を求める。

3回の試行で合計枚数が偶数になるのは、

- 3回とも1枚（奇数）

- 2回が2枚、1回が1枚（奇数＋偶数）

- 1回が2枚、2回が1枚（偶数＋奇数）

- 3回とも2枚（偶数）

あるいは、コインの合計枚数が偶数になるのは、

- 2回目までに偶数枚で、3回目に2枚を得る

- 2回目までに奇数枚で、3回目に1枚を得る

場合である。

$p_3 = p_2 \times \frac{1}{3} + (1-p_2) \times \frac{2}{3} = \frac{5}{9} \times \frac{1}{3} + \frac{4}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{5}{27} + \frac{8}{27} = \frac{13}{27}$

(3) $p_{n+1}$を$p_n$を用いて表す。

n+1回の試行でコインの合計枚数が偶数になるのは、

- n回目までに合計枚数が偶数で、(n+1)回目に2枚獲得する場合

- n回目までに合計枚数が奇数で、(n+1)回目に1枚獲得する場合

である。

$p_{n+1} = p_n \times \frac{1}{3} + (1-p_n) \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}p_n + \frac{2}{3} - \frac{2}{3}p_n = -\frac{1}{3}p_n + \frac{2}{3}$

(4) 数列$\{p_n\}$の一般項$p_n$を求める。

$p_{n+1} = -\frac{1}{3}p_n + \frac{2}{3}$を変形する。

$p_{n+1} - \alpha = -\frac{1}{3}(p_n - \alpha)$とおくと、

$p_{n+1} = -\frac{1}{3}p_n + \frac{1}{3}\alpha + \alpha$

$\frac{1}{3}\alpha + \alpha = \frac{2}{3}$

$\frac{4}{3}\alpha = \frac{2}{3}$

$\alpha = \frac{1}{2}$

よって、$p_{n+1} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{3}(p_n - \frac{1}{2})$

数列$\{p_n - \frac{1}{2}\}$は、初項$p_1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{3}-\frac{1}{2} = \frac{1}{6}$、公比$-\frac{1}{3}$の等比数列である。

$p_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}(-\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}(-\frac{1}{3})^{n-1}$

$p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} (-\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (-\frac{1}{3})^n$

$p_n = \frac{1}{2} \{ 1 + (-\frac{1}{3})^n \}$

3. 最終的な答え

(1) $p_2 = \frac{5}{9}$

(2) $p_3 = \frac{13}{27}$

(3) $p_{n+1} = -\frac{1}{3}p_n + \frac{2}{3}$

(4) $p_n = \frac{1}{2} \{ 1 + (-\frac{1}{3})^n \}$