与えられた式 $|a^2 + \frac{1}{a^2} + 2| - |2 - a^2 - \frac{1}{a^2}|$ を計算して簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $|a^2 + \frac{1}{a^2} + 2| - |2 - a^2 - \frac{1}{a^2}|$ を計算して簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の中身を調べます。

$a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$ は、 $(a + \frac{1}{a})^2$ と変形できます。

$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2(a)(\frac{1}{a}) + \frac{1}{a^2} = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$

したがって、$a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = (a + \frac{1}{a})^2$

$a$ が実数なので $(a + \frac{1}{a})^2$ は常に非負です。つまり $|a^2 + \frac{1}{a^2} + 2| = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2$ が成り立ちます。

次に、 $2 - a^2 - \frac{1}{a^2}$ を考えます。

これは $-(a^2 + \frac{1}{a^2} - 2)$ と書き換えることができます。

この式は $-(a - \frac{1}{a})^2$ となります。

$-(a - \frac{1}{a})^2 = -(a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}) = -a^2 + 2 - \frac{1}{a^2} = 2 - a^2 - \frac{1}{a^2}$

$2 - a^2 - \frac{1}{a^2} = -(a - \frac{1}{a})^2$

$-(a - \frac{1}{a})^2$ は常に非正なので、 $|2 - a^2 - \frac{1}{a^2}| = |-(a - \frac{1}{a})^2| = (a - \frac{1}{a})^2 = a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}$

したがって、与えられた式は、

$|a^2 + \frac{1}{a^2} + 2| - |2 - a^2 - \frac{1}{a^2}| = (a^2 + \frac{1}{a^2} + 2) - (a^2 - 2 + \frac{1}{a^2}) = a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 - a^2 + 2 - \frac{1}{a^2} = 4$

3. 最終的な答え

4