与えられた命題の逆を作り、その真偽を調べる問題です。 (1) $n$ が自然数のとき、$n$ は偶数 $\implies$ $2n$ は偶数 (2) $x = -2$ $\implies$ $5x + 10 = 0$ (3) $x < -1$ $\implies$ $x < 3$ (4) $n$ が自然数のとき、$n$ は 10 の倍数 $\implies$ $n$ は 5 の倍数 (5) $x = 0$ $\implies$ $x^2 = 0$

## 問題55

1. 問題の内容

与えられた命題の逆を作り、その真偽を調べる問題です。

(1) $n$ が自然数のとき、$n$ は偶数 $\implies$ $2n$ は偶数

(2) $x = -2$ $\implies$ $5x + 10 = 0$

(3) $x < -1$ $\implies$ $x < 3$

(4) $n$ が自然数のとき、$n$ は 10 の倍数 $\implies$ $n$ は 5 の倍数

(5) $x = 0$ $\implies$ $x^2 = 0$

2. 解き方の手順

各命題に対して、以下の手順で解きます。

1. 逆を作る: 命題「$p \implies q$」に対して、逆は「$q \implies p$」

2. 逆の真偽を判定する: 真であれば「真」、偽であれば「偽」と答える。偽の場合は反例を挙げる。

(1)

1. 逆: $2n$ は偶数 $\implies$ $n$ は偶数

2. 真偽: 真。$2n$ が偶数なら $n$ は整数であり、2で割り切れるので偶数。

(2)

1. 逆: $5x + 10 = 0$ $\implies$ $x = -2$

2. 真偽: 真。$5x + 10 = 0$ を解くと $5x = -10$, $x = -2$ となる。

(3)

1. 逆: $x < 3$ $\implies$ $x < -1$

2. 真偽: 偽。$x = 0$ は $x < 3$ を満たすが、$x < -1$ は満たさない。 ($x = 0$ が反例)

(4)

1. 逆: $n$ は 5 の倍数 $\implies$ $n$ は 10 の倍数

2. 真偽: 偽。$n = 5$ は 5 の倍数であるが、10 の倍数ではない。 ($n = 5$ が反例)

(5)

1. 逆: $x^2 = 0$ $\implies$ $x = 0$

2. 真偽: 真。$x^2 = 0$ ならば $x = 0$。

3. 最終的な答え

(1) 逆: $2n$ は偶数 $\implies$ $n$ は偶数。 真

(2) 逆: $5x + 10 = 0$ $\implies$ $x = -2$。 真

(3) 逆: $x < 3$ $\implies$ $x < -1$。 偽 (反例: $x = 0$)

(4) 逆: $n$ は 5 の倍数 $\implies$ $n$ は 10 の倍数。 偽 (反例: $n = 5$)

(5) 逆: $x^2 = 0$ $\implies$ $x = 0$。 真

## 問題56

1. 問題の内容

与えられた命題の対偶を作る問題です。

(1) $n$ が自然数のとき、$n$ は 8 の倍数 $\implies$ $n$ は 4 の倍数

(2) $x = 5$ $\implies$ $x^2 = 25$

(3) $n$ が自然数のとき、$3n$ は奇数 $\implies$ $n$ は奇数

(4) $x > 2$ $\implies$ $x > -2$

(5) $x^2 \neq y^2$ $\implies$ $x \neq y$

(6) $x^2$ は無理数 $\implies$ $x$ は無理数

2. 解き方の手順

命題「$p \implies q$」に対して、対偶は「$\neg q \implies \neg p$」 (qでないならばpでない)。

(1)

1. 対偶: $n$ は 4 の倍数でない $\implies$ $n$ は 8 の倍数でない

(2)

1. 対偶: $x^2 \neq 25$ $\implies$ $x \neq 5$

(3)

1. 対偶: $n$ は奇数でない $\implies$ $3n$ は奇数でない。言い換えると、$n$ は偶数 $\implies$ $3n$ は偶数。

(4)

1. 対偶: $x \leq -2$ $\implies$ $x \leq 2$

(5)

1. 対偶: $x = y$ $\implies$ $x^2 = y^2$

(6)

1. 対偶: $x$ は無理数でない $\implies$ $x^2$ は無理数でない。言い換えると、$x$ は有理数 $\implies$ $x^2$ は有理数。

3. 最終的な答え

(1) $n$ は 4 の倍数でない $\implies$ $n$ は 8 の倍数でない

(2) $x^2 \neq 25$ $\implies$ $x \neq 5$

(3) $n$ は偶数 $\implies$ $3n$ は偶数

(4) $x \leq -2$ $\implies$ $x \leq 2$

(5) $x = y$ $\implies$ $x^2 = y^2$

(6) $x$ は有理数 $\implies$ $x^2$ は有理数