$2^n < 3^{20} < 2^{n+1}$ を満たす自然数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$2^n < 3^{20} < 2^{n+1}$ を満たす自然数 $n$ を求めます。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$2^n < 3^{20} < 2^{n+1}$ の各辺の常用対数をとります。

$\log_{10}2^n < \log_{10}3^{20} < \log_{10}2^{n+1}$

対数の性質より、

$n \log_{10}2 < 20 \log_{10}3 < (n+1) \log_{10}2$

与えられた値 $\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ を代入します。

$n(0.3010) < 20(0.4771) < (n+1)(0.3010)$

$0.3010n < 9.542 < 0.3010(n+1)$

まず、$0.3010n < 9.542$ を解きます。

$n < \frac{9.542}{0.3010} \approx 31.70$

次に、$9.542 < 0.3010(n+1)$ を解きます。

$\frac{9.542}{0.3010} < n+1$

$31.70 < n+1$

$30.70 < n$

よって、$30.70 < n < 31.70$ となります。

$n$ は自然数なので、$n = 31$ となります。

3. 最終的な答え

$n = 31$