三角形ABCにおいて、辺の長さに関して $b+c:c+a:a+b = 4:5:6$ が成り立つとき、以下の2つの問いに答えます。 (1) $\sin A : \sin B : \sin C$ を求めよ。 (2) $A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺の長さに関して $b+c:c+a:a+b = 4:5:6$ が成り立つとき、以下の2つの問いに答えます。

(1) $\sin A : \sin B : \sin C$ を求めよ。

(2) $A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin A : \sin B : \sin C$ を求める。

$b+c=4k$, $c+a=5k$, $a+b=6k$ とおく。（$k$は正の定数）

3つの式をすべて足すと、

$2(a+b+c) = 15k$

$a+b+c = \frac{15}{2}k$

$a = (a+b+c) - (b+c) = \frac{15}{2}k - 4k = \frac{7}{2}k$

$b = (a+b+c) - (c+a) = \frac{15}{2}k - 5k = \frac{5}{2}k$

$c = (a+b+c) - (a+b) = \frac{15}{2}k - 6k = \frac{3}{2}k$

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ なので、

$\sin A : \sin B : \sin C = \frac{7}{2}k : \frac{5}{2}k : \frac{3}{2}k = 7:5:3$

(2) $A$ の値を求める。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(\frac{5}{2}k)^2 + (\frac{3}{2}k)^2 - (\frac{7}{2}k)^2}{2 \cdot \frac{5}{2}k \cdot \frac{3}{2}k} = \frac{\frac{25}{4}k^2 + \frac{9}{4}k^2 - \frac{49}{4}k^2}{2 \cdot \frac{15}{4}k^2} = \frac{-15/4}{15/2} = -\frac{1}{2}$

$\cos A = -\frac{1}{2}$ を満たす $A$ は $A=120^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$

(2) $A = 120^\circ$