四角形ABCDにおいて、$\angle DAB = 120^\circ$, $\angle BCD = 60^\circ$, $\angle ADC = 30^\circ$, $AD = \sqrt{7}$, $BC = b$, $AB = 2\sqrt{7}$, $DB=a$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$\angle DAB = 120^\circ$, $\angle BCD = 60^\circ$, $\angle ADC = 30^\circ$, $AD = \sqrt{7}$, $BC = b$, $AB = 2\sqrt{7}$, $DB=a$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ADBに着目して余弦定理を用いると、

$AD^2 + AB^2 - 2 \cdot AD \cdot AB \cdot \cos 120^\circ = a^2$

$(\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7} \cdot (-\frac{1}{2}) = a^2$

$7 + 28 + 14 = a^2$

$a^2 = 49$

$a = 7$

次に、三角形BCDについて考察する。 四角形の内角の和は $360^\circ$ であるから、

$\angle ABC = 360^\circ - (120^\circ + 30^\circ + 60^\circ) = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ$

三角形BCDについて、正弦定理を用いると、

$\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ}$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b}{\frac{1}{2}}$

$b = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$a = 7$