問題69として、3点A(3, 2), B(-5, 0), C(1, -4)が与えられたとき、 (1)三角形ABCの外接円の中心の座標を求める。 (2)三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

問題69として、3点A(3, 2), B(-5, 0), C(1, -4)が与えられたとき、

(1)三角形ABCの外接円の中心の座標を求める。

(2)三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 外接円の中心は、三角形の各辺の垂直二等分線の交点である。

まず、辺ABと辺BCの垂直二等分線を求める。

辺ABの中点Mは $M = (\frac{3+(-5)}{2}, \frac{2+0}{2}) = (-1, 1)$

辺ABの傾きは $m_{AB} = \frac{0-2}{-5-3} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}$

ABの垂直二等分線の傾きは $m_1 = -4$

よって、辺ABの垂直二等分線の方程式は

$y - 1 = -4(x + 1)$

$y = -4x - 4 + 1$

$y = -4x - 3$

辺BCの中点Nは $N = (\frac{-5+1}{2}, \frac{0+(-4)}{2}) = (-2, -2)$

辺BCの傾きは $m_{BC} = \frac{-4-0}{1-(-5)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

BCの垂直二等分線の傾きは $m_2 = \frac{3}{2}$

よって、辺BCの垂直二等分線の方程式は

$y - (-2) = \frac{3}{2}(x - (-2))$

$y + 2 = \frac{3}{2}(x + 2)$

$y = \frac{3}{2}x + 3 - 2$

$y = \frac{3}{2}x + 1$

これら2つの垂直二等分線の交点を求める。

$-4x - 3 = \frac{3}{2}x + 1$

$-8x - 6 = 3x + 2$

$-11x = 8$

$x = -\frac{8}{11}$

$y = -4(-\frac{8}{11}) - 3 = \frac{32}{11} - \frac{33}{11} = -\frac{1}{11}$

したがって、外接円の中心は $(-\frac{8}{11}, -\frac{1}{11})$

(2)三角形ABCの面積を求める。

三角形の面積の公式: $S = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$

$S = \frac{1}{2} |(3(0 - (-4)) + (-5)(-4 - 2) + 1(2 - 0))|$

$S = \frac{1}{2} |(3(4) - 5(-6) + 1(2))|$

$S = \frac{1}{2} |(12 + 30 + 2)|$

$S = \frac{1}{2} |44|$

$S = 22$

3. 最終的な答え

(1)外接円の中心の座標: $(-\frac{8}{11}, -\frac{1}{11})$

(2)三角形ABCの面積: 22