直線 $l: y = 2x - 3$ と2点 $A(0, 2)$, $B(3, 8)$ が与えられています。 (1) 直線 $l$ に関して点 $A$ と対称な点 $P$ の座標を求めます。 (2) 点 $Q$ が直線 $l$ 上にあるとき、$QA + QB$ を最小にする点 $Q$ の座標と、$QA + QB$ の最小値を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x - 3$ と2点 $A(0, 2)$, $B(3, 8)$ が与えられています。

(1) 直線 $l$ に関して点 $A$ と対称な点 $P$ の座標を求めます。

(2) 点 $Q$ が直線 $l$ 上にあるとき、$QA + QB$ を最小にする点 $Q$ の座標と、$QA + QB$ の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

線分 $AP$ の中点は $(\frac{x + 0}{2}, \frac{y + 2}{2}) = (\frac{x}{2}, \frac{y + 2}{2})$ であり、この点が直線 $l$ 上にあるので、

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\frac{y + 2}{2} = 2(\frac{x}{2}) - 3

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y + 2 = 2x - 6

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y = 2x - 8

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直線 $AP$ は直線 $l$ に垂直なので、直線 $AP$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

直線 $AP$ の傾きは $\frac{y - 2}{x - 0} = \frac{y - 2}{x}$ でもあるので、

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\frac{y - 2}{x} = -\frac{1}{2}

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y - 2 = -\frac{1}{2}x

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y = -\frac{1}{2}x + 2

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$y$ についての2つの式を連立して解きます。

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2x - 8 = -\frac{1}{2}x + 2

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\frac{5}{2}x = 10

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x = 4

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y = 2(4) - 8 = 0

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したがって、点 $P$ の座標は $(4, 0)$ です。

(2) $QA + QB$ が最小となるのは、$Q$ が点 $A$ の直線 $l$ に関する対称点 $P$ と点 $B$ を結ぶ直線と直線 $l$ の交点であるときです。

$Q$ は直線 $l$ 上にあるので、$Q$ の座標を $(x_Q, 2x_Q - 3)$ とおきます。

$QA + QB$ を最小にする点 $Q$ は、直線 $PB$ 上にあります。

直線 $PB$ の方程式は、

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\frac{y - 0}{x - 4} = \frac{8 - 0}{3 - 4}

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\frac{y}{x - 4} = -8

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y = -8x + 32

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点 $Q$ は直線 $l$ と直線 $PB$ の交点なので、

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2x_Q - 3 = -8x_Q + 32

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10x_Q = 35

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x_Q = \frac{7}{2}

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y_Q = 2(\frac{7}{2}) - 3 = 7 - 3 = 4

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したがって、点 $Q$ の座標は $(\frac{7}{2}, 4)$ です。

$QA + QB$ の最小値は $PB$ の長さに等しいので、

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PB = \sqrt{(3 - 4)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}

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3. 最終的な答え

(1) $P(4, 0)$

(2) $Q(\frac{7}{2}, 4)$, $QA + QB$ の最小値は $\sqrt{65}$