$a > 0$ のとき、$f(a) = \int_0^1 |x(x-a)|dx$ の最小値を求める問題です。 場合分けとして、$0 < a < 1$ のときと $1 \le a$ のときを考えます。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、$f(a) = \int_0^1 |x(x-a)|dx$ の最小値を求める問題です。

場合分けとして、$0 < a < 1$ のときと $1 \le a$ のときを考えます。

2. 解き方の手順

まず、$f(a) = \int_0^1 |x(x-a)|dx$ を計算します。絶対値の中身 $x(x-a)$ の符号が変わる点を探します。$x(x-a)=0$ とすると、$x=0$ または $x=a$ となります。積分区間は $[0,1]$ なので、$a$ の値によって積分範囲を分割する必要があります。

(1) $0 < a < 1$ のとき：

$0 \le x \le a$ では $x(x-a) \le 0$ なので $|x(x-a)| = -x(x-a) = ax - x^2$

$a \le x \le 1$ では $x(x-a) \ge 0$ なので $|x(x-a)| = x(x-a) = x^2 - ax$

したがって、

$f(a) = \int_0^a (ax - x^2)dx + \int_a^1 (x^2 - ax)dx$

$= [\frac{1}{2}ax^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^a + [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}ax^2]_a^1$

$= (\frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{3}a^3) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}a) - (\frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3)$

$= \frac{1}{6}a^3 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}a + \frac{1}{6}a^3$

$= \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{3}$

$f'(a) = a^2 - \frac{1}{2}$

$f'(a) = 0$ とすると $a^2 = \frac{1}{2}$ より $a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$0 < a < 1$ より、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$f''(a) = 2a > 0$ なので、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で最小値をとります。

最小値は

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 - \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{3}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = -\frac{2}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = \frac{-\sqrt{2} + 3}{6}$

(2) $1 \le a$ のとき：

$0 \le x \le 1$ で $x(x-a) \le 0$ なので $|x(x-a)| = -x(x-a) = ax - x^2$

したがって、

$f(a) = \int_0^1 (ax - x^2)dx$

$= [\frac{1}{2}ax^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^1$

$= \frac{1}{2}a - \frac{1}{3}$

$f'(a) = \frac{1}{2} > 0$ なので、$f(a)$ は単調増加。したがって、$a=1$ で最小値をとります。

最小値は $f(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f(a) = \frac{3-\sqrt{2}}{6} \approx \frac{3 - 1.414}{6} \approx \frac{1.586}{6} \approx 0.264$

$a = 1$ のとき、$f(a) = \frac{1}{6} \approx 0.166$

したがって、$a=1$ のとき最小値 $\frac{1}{6}$ をとります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$