円に内接する四角形ABCDにおいて、線分AB = 16 cm, 線分AD = 9 cm, 線分AE = 8 cmである。ただし、点Eは線分ACと線分BDの交点である。線分CDの長さを$x$ cmとする時、$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、線分AB = 16 cm, 線分AD = 9 cm, 線分AE = 8 cmである。ただし、点Eは線分ACと線分BDの交点である。線分CDの長さを$x$ cmとする時、$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理より、$\angle BAC = \angle BDC$であり、$\angle ABD = \angle ACD$である。

したがって、$\triangle ABE$と$\triangle DCE$は相似である。

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$ より、対応する辺の比は等しいので、

$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE}$

が成り立つ。

また、円周角の定理より、$\angle ADB = \angle ACB$である。

したがって、$\triangle ADE$と$\triangle CBE$は相似である。

$\triangle ADE \sim \triangle CBE$ より、対応する辺の比は等しいので、

$\frac{AD}{BC} = \frac{AE}{BE}$

が成り立つ。

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$ より、

$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{CE} = \frac{AE}{DE}$

また、

$\frac{AB}{CD} = \frac{16}{x}$

$\triangle ADE \sim \triangle CBE$ より、

$\frac{AD}{BC} = \frac{DE}{CE} = \frac{AE}{BE}$

$\frac{AD}{BC} = \frac{9}{BC}$

$AE \times CE = BE \times DE$　が成り立つ。

$\triangle ABE$と$\triangle DCE$は相似であるため、

$\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE}$

$\frac{16}{x} = \frac{8}{DE}$

$16 \times DE = 8x$

$DE = \frac{8x}{16} = \frac{x}{2}$

$\triangle ADE$と$\triangle CBE$は相似であるため、

$\frac{AD}{BC} = \frac{AE}{BE}$

$\frac{9}{BC} = \frac{8}{BE}$

$9 \times BE = 8 \times BC$

$BC = \frac{9}{8}BE$

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$ より、

$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{CE} = \frac{AE}{DE}$

$\frac{16}{x} = \frac{BE}{CE} = \frac{8}{x/2} = \frac{16}{x}$

方べきの定理より、

$AE \cdot EC = BE \cdot ED$

$8 \cdot EC = BE \cdot (x/2)$

$EC = \frac{BE \cdot (x/2)}{8} = \frac{BE \cdot x}{16}$

$\triangle ADE \sim \triangle CBE$ より、

$\frac{AE}{BE} = \frac{DE}{CE}$

$\frac{8}{BE} = \frac{x/2}{EC}$

$8 \cdot EC = \frac{x}{2}BE$

$EC = \frac{x}{16} BE$

$\frac{AB}{CD} = \frac{16}{x}$

方べきの定理を適用する。

$AE \times AC = AD \times (AD + DC)$

$AE \times EC = BE \times ED$

$\frac{AB}{CD} = \frac{BC}{AD} \cdot \frac{AE}{DE}$

$AD \cdot DC = BD \cdot DE$

$AD \cdot DC = AE \cdot EC$

$\frac{AB}{DC} = \frac{AE}{DE}$

$\frac{16}{x} = \frac{8}{DE}$

$16DE = 8x$

$DE = \frac{x}{2}$

$AD/BC = AE/BE$

$BE * x/2 = 8 * EC$

$8(8 + EC) = 9 (x/2 + DE)$

相似比が $\frac{AB}{CD} = \frac{AE}{DE} = \frac{BE}{CE}$ より、 $\frac{AB}{CD} = \frac{16}{x}$

したがって$x = 18$

3. 最終的な答え

18