(3) 2点間の距離、円の弦の長さと半径から弦の中点と円の中心との距離を求める問題と、円錐の高さと体積を求める問題です。 (1) 2点A(-3, 1), B(4, 3)があるとき、線分ABの長さを求める。 (2) 円Oにおいて、半径OAが9cm、弦ABが12cmであるとき、AHとOHの長さを求める。 (3) 底面の半径が5cm、母線の長さが$2\sqrt{13}$cmの円錐があるとき、円錐の高さと体積を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(3) 2点間の距離、円の弦の長さと半径から弦の中点と円の中心との距離を求める問題と、円錐の高さと体積を求める問題です。

(1) 2点A(-3, 1), B(4, 3)があるとき、線分ABの長さを求める。

(2) 円Oにおいて、半径OAが9cm、弦ABが12cmであるとき、AHとOHの長さを求める。

(3) 底面の半径が5cm、母線の長さが$2\sqrt{13}$cmの円錐があるとき、円錐の高さと体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点間の距離の公式を用いて、線分ABの長さを求める。

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

(2) 円の中心Oから弦ABに垂線を下ろした点をHとする。このとき、Hは弦ABの中点であるから、$AH = \frac{1}{2}AB$。次に、直角三角形OAHにおいて、三平方の定理を用いると、$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2}$

(3) 円錐の高さを$h$とすると、直角三角形において、三平方の定理より$h = \sqrt{(2\sqrt{13})^2 - 5^2}$。

次に、円錐の体積を$V$とすると、$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$で求められる。ここで、$r$は底面の半径である。

3. 最終的な答え

(1)

$AB = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$

AB = $\sqrt{53}$

(2)

$AH = \frac{1}{2} \times 12 = 6$

AH = 6 cm

$OH = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

OH = $3\sqrt{5}$ cm

(3)

$h = \sqrt{(2\sqrt{13})^2 - 5^2} = \sqrt{4 \times 13 - 25} = \sqrt{52 - 25} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

高さ = $3\sqrt{3}$ cm

$V = \frac{1}{3} \pi \times 5^2 \times 3\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \pi$

体積 = $25\sqrt{3} \pi cm^3$