$\triangle ABC$ において、$A = 135^\circ$, $b = \sqrt{3}-1$, $c = \sqrt{2}$ のとき、残りの辺の長さ $a$ と角 $B$, $C$ の大きさを求めます。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$A = 135^\circ$, $b = \sqrt{3}-1$, $c = \sqrt{2}$ のとき、残りの辺の長さ $a$ と角 $B$, $C$ の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて辺 $a$ の長さを求めます。

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$a^2 = (\sqrt{3}-1)^2 + (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2}) \cos 135^\circ$

$a^2 = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 2 - 2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$a^2 = 6 - 2\sqrt{3} + 2(\sqrt{3}-1)$

$a^2 = 6 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2$

$a^2 = 4$

$a = 2$

(2) 正弦定理を用いて角 $C$ の大きさを求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ より、

$\frac{2}{\sin 135^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$

$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$

$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sin C}$

$\sin C = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$C = 30^\circ$

(3) 三角形の内角の和は $180^\circ$ であるから、

$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$B = 15^\circ$

$C = 30^\circ$