不等式 $1 < x < a$ を満たす整数の個数が3となるような定数 $a$ の範囲を求めよ。

代数学不等式整数範囲
2025/7/20

1. 問題の内容

不等式 1<x<a1 < x < a を満たす整数の個数が3となるような定数 aa の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1<x1 < x を満たす最小の整数は2です。1<x<a1 < x < a を満たす整数が3個であるためには、整数 2,3,42, 3, 4xx の値として含まれる必要があります。したがって、aa は4より大きく、5以下でなければなりません。
4<a54 < a \leq 5
場合分けをして考えます。
* a=4a = 4 のとき、1<x<41 < x < 4 を満たす整数は 2,32, 3 の2個となり条件を満たしません。
* 4<a<54 < a < 5 のとき、1<x<a1 < x < a を満たす整数は 2,3,42, 3, 4 の3個となり条件を満たします。
* a=5a = 5 のとき、1<x<51 < x < 5 を満たす整数は 2,3,42, 3, 4 の3個となり条件を満たします。
* a>5a > 5 のとき、1<x<a1 < x < a を満たす整数は 2,3,4,5,...2, 3, 4, 5, ... となり3個より多くなるため条件を満たしません。
したがって、aa の範囲は 4<a54 < a \le 5 となります。

3. 最終的な答え

4<a54 < a \leq 5

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