$\triangle ABC$ において、$\sin A : \sin B : \sin C = 13 : 8 : 7$ のとき、$A$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\sin A : \sin B : \sin C = 13 : 8 : 7$ のとき、$A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立つ。

したがって、$a : b : c = 13 : 8 : 7$ となる。

$a = 13k, b = 8k, c = 7k$ ($k > 0$) とおける。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(8k)^2 + (7k)^2 - (13k)^2}{2 \cdot 8k \cdot 7k} = \frac{64k^2 + 49k^2 - 169k^2}{112k^2} = \frac{-56k^2}{112k^2} = -\frac{1}{2}$

$\cos A = -\frac{1}{2}$ となるのは、$A = 120^{\circ}$ のときである。

3. 最終的な答え

$A = 120^{\circ}$