2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点を通る直線の方程式を求める問題です。 (1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行な直線の方程式 (2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線の方程式 をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点を通る直線の方程式を求める問題です。

(1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行な直線の方程式

(2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線の方程式

をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、2直線 $3x - 4y + 5 = 0$ と $2x + y - 4 = 0$ の交点を求めます。

連立方程式を解きます。

$3x - 4y + 5 = 0$ ...(1)

$2x + y - 4 = 0$ ...(2)

(2)式より、$y = -2x + 4$

これを(1)式に代入します。

$3x - 4(-2x + 4) + 5 = 0$

$3x + 8x - 16 + 5 = 0$

$11x - 11 = 0$

$11x = 11$

$x = 1$

$x = 1$を(2)式に代入します。

$2(1) + y - 4 = 0$

$2 + y - 4 = 0$

$y - 2 = 0$

$y = 2$

したがって、2直線の交点の座標は$(1, 2)$です。

(1) 直線 $2x + 3y = 0$ に平行な直線の方程式を求めます。

平行な直線は傾きが等しいので、$2x + 3y + k = 0$ と表すことができます。この直線が点$(1, 2)$を通るので、

$2(1) + 3(2) + k = 0$

$2 + 6 + k = 0$

$8 + k = 0$

$k = -8$

よって、求める直線の方程式は $2x + 3y - 8 = 0$です。

(2) 直線 $2x + 3y = 0$ に垂直な直線の方程式を求めます。

$2x + 3y = 0$ の傾きは $-\frac{2}{3}$なので、これに垂直な直線の傾きは $\frac{3}{2}$です。

したがって、求める直線の方程式は $y = \frac{3}{2}x + c$と表すことができます。

この直線が点$(1, 2)$を通るので、

$2 = \frac{3}{2}(1) + c$

$2 = \frac{3}{2} + c$

$c = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

よって、求める直線の方程式は $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$です。

変形して、$2y = 3x + 1$

$3x - 2y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $2x + 3y - 8 = 0$

(2) $3x - 2y + 1 = 0$