数直線上の原点Oに点Pがある。サイコロを投げて1, 2, 3, 4の目が出たらPを正の方向に1だけ、5, 6の目が出たら負の方向に1だけ移動させる。サイコロを4回投げた後、PがOにある確率を求めよ。

1. 問題の内容

数直線上の原点Oに点Pがある。サイコロを投げて1, 2, 3, 4の目が出たらPを正の方向に1だけ、5, 6の目が出たら負の方向に1だけ移動させる。サイコロを4回投げた後、PがOにある確率を求めよ。

2. 解き方の手順

サイコロを4回投げた後、点Pが原点Oにあるためには、正の方向に移動する回数と負の方向に移動する回数が等しくなければならない。つまり、正の方向に2回、負の方向に2回移動する必要がある。

サイコロを1回投げて正の方向に移動する確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$である。

サイコロを1回投げて負の方向に移動する確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

4回サイコロを投げて、正の方向に2回、負の方向に2回移動する確率は、二項定理を用いて計算できる。

求める確率は、

$${}_4 C_2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^2$$

となる。ここで、${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$である。

したがって、

$$6 \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27}$